Lemme d'Ogden

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Article général Pour un article plus général, voir Lemme d'itération pour les langages algébriques.

En informatique théorique, le lemme d'Ogden est un résultat de théorie des langages analogue au lemme de l'étoile. On l'utilise principalement pour démontrer que certains langages ne sont pas algébriques. Il est nommé ainsi d'après William F. Ogden, un informaticien théoricien américain qui l’a publié en 1968[1].

Le lemme d'Ogden est une version plus élaborée du lemme d'itération pour les langages algébriques, aussi connu sous le nom de lemme de Bar-Hillel, Perles et Shamir.

Il existe des langages qui satisfont le lemme d'Ogden mais qui ne sont pas algébriques. Ce lemme donne une condition nécessaire pour les langages algébriques, mais pas une condition suffisante. Il est très utile, dans sa version grammaticale, pour prouver que certains langages sont inhéremment ambigus.

Énoncés[modifier | modifier le code]

Lemme d'Ogden[modifier | modifier le code]

Étant donné un mot , où les sont des lettres, on appelle position dans tout entier de l'ensemble . Un choix de positions distinguées ou positions marquées dans (ceci est la terminologie traditionnelle) est simplement un sous-ensemble de positions contenant éléments. Avec ces définitions, le lemme s'énonce comme suit :

Lemme d'Ogden — Soit un langage algébrique. Il existe un entier tel que pour tout mot de de longueur , et pour tout choix de positions distinguées dans , il existe une factorisation telle que :

  1. ( et et ) ou ( et et ) contiennent au moins une position distinguée ;
  2. contient au plus positions distinguées ;
  3. pour tout .

Le plus petit entier pour lequel l'énoncé est vrai est appelé la constante d'Ogden.

Variante grammaticale[modifier | modifier le code]

Il existe une variante grammaticale du lemme d'Ogden : elle dit que la paire itérante peut être choisie grammaticale. Cette variante est bien utile dans certains cas, et notamment pour les langages inhéremment ambigus. Voici l'énoncé :

Lemme d'Ogden (variante grammaticale) — Soit une grammaire algébrique d'axiome . Il existe un entier tel que pour tout mot qui dérive de de longueur , et pour tout choix de positions distinguées dans , il existe une factorisation telle que :

  1. ( et et ) ou ( et et ) contiennent au moins une position distinguée ;
  2. contient au plus positions distinguées ;
  3. Il existe une variable telle que .

Dans cet énoncé, le mot peut contenir des variables de la grammaire : il appartient au « langage élargi » constitué par définition de tous les mots dérivant de , qu'ils contiennent ou non des variables.

Exemples d'application[modifier | modifier le code]

Langages non algébriques[modifier | modifier le code]

  • Le langage n'est pas algébrique. Pour le voir, on distingue dans le mot les lettres égales à . En appliquant le lemme, on fait varier le nombre de lettres . Il faut distinguer encore le cas où le facteur est vide ou non, mais comme on itère ce facteur, il ne peut être formé que de lettres de même type, et on ne peut pas compenser l'accroissement de lettres et à la fois, d'où la contradiction.
  • Le langage n’est pas algébrique. On applique cette fois la variante grammaticale du lemme au mot , où est la constante d'Ogden, et où les lettres distinguées sont les lettres . Il existe des dérivations
avec . On applique le lemme une deuxième fois, au mot , où cette fois-ci ce sont les lettres qui sont distinguées. On obtient une paire itérante contenant des lettres itérées, mais aucune lettre , contradiction.

Un langage inhéremment ambigu[modifier | modifier le code]

  • Le langage est inhéremment ambigu. Un langage est inhéremment ambigu si toutes les grammaires qui l'engendrent sont ambiguës. On applique une première fois la variante du lemme au mot
        ,
    est la constante d'Ogden, et en distinguant les lettres . Il existe une dérivation
         .
    et les conditions impliquent que et pour un entier . En itérant fois la dérivation
         ,
    on obtient un arbre de dérivation pour le mot . Cet arbre contient un sous-arbre dont la frontière ne contient que des lettres et , dont au moins lettres . En appliquant le même procédé au mot
        ,
    on obtient un autre arbre de dérivation pour le même mot . Cet arbre contient un sous-arbre dont la frontière ne contient que des lettres et , dont au moins lettres . Cet arbre est donc différent du premier arbre.

Démonstration de la version grammaticale[modifier | modifier le code]

Soit une grammaire algébrique de variables et d'axiome . Soit un mot qui dérive de .

La démonstration se trouve simplifiée si on ne veut établir que la version langage du lemme d'itération. Dans ce cas on peut choisir une grammaire sous forme normale de Chomsky, et un arbre de dérivation est essentiellement un arbre binaire.

Un lemme combinatoire[modifier | modifier le code]

Considérons un arbre dont certaines feuilles sont distinguées. On dit que

  • un nœud est distingué lorsque le sous-arbre dont il est racine contient des feuilles distinguée ;
  • un nœud est spécial lorsqu'au moins deux de ses enfants sont distingués.

Le parent d'un nœud distingué est distingué, la racine est distinguée dès que l'une des feuilles est distinguée, un nœud spécial est lui-même distingué.

Un arbre est de degré si chaque nœud a au plus enfants.

Lemme — Soit un arbre de degré avec feuilles distinguées. Si chaque branche contient au plus nœuds spéciaux, alors .

Démonstration[modifier | modifier le code]

Découpage du mot . On reste dans le langage en itérant la partie en couleur car et sont des nœuds étiquetés par la même variable .

On utilise la contraposée du lemme précédent : si l'arbre a strictement plus de feuilles distinguées, alors l'arbre a au moins une branche qui contient au moins nœuds spéciaux.

Soit la longueur maximale des membres droits des règles. On pose et . Considérons un arbre de dérivation pour le mot . Par définition, l'arbre est de degré et possède des feuilles distinguées qui sont les positions distinguées de . L'arbre possède un branche ayant au moins nœuds spéciaux, notés . Chacun de ces nœuds a au moins un fils distingué qui n'est pas sur la branche ; le nœud est gauche si ce fils est à gauche de la branche, il est droit sinon. Comme , il y a au moins sommets distingués soit tous gauches, soit tous droits. Comme ce nombre est supérieur au nombre de variables, deux sommets et (notés et sur la figure), avec , sont étiquetés avec la même variable . L'arbre donne alors les dérivations

, et .

Si les nœuds distingués sont gauche, les mots contiennent des positions distinguées, sinon c'est le cas des mots . Enfin, si le mot contient plus que positions distinguées, on recommence le découpage à partir de la racine de son sous-arbre.

Annexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • William F. Ogden, « A Helpful Result for Proving Inherent Ambiguity », Mathematical Systems Theory, vol. 2, no 3,‎ , p. 191-194 (DOI 10.1007/BF01694004)
  • (en) Marcus Kracht, « Too Many Languages Satisfy Ogden’s Lemma », University of Pennsylvania Working Papers in Linguistics, vol. 10,‎

Articles connexes[modifier | modifier le code]