Inégalité de Kolmogorov

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L'inégalité de Kolmogorov[1] , due à Andreï Kolmogorov, est une étape essentielle de sa démonstration de la loi forte des grands nombres, un des principaux théorèmes de la théorie des probabilités. C'est l'étape où il utilise l'hypothèse d'indépendance (et, sans le dire, la notion de temps d'arrêt).

Énoncé[modifier | modifier le code]

Inégalité de Kolmogorov. — Soit une suite de v.a.r. indépendantes et centrées. Posons

Alors, pour tout ,

Remarques :
  • L'inégalité
est une conséquence immédiate de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. La présence du sup rend l'inégalité beaucoup plus précise, donc plus difficile à démontrer.
  • Contrairement à la loi forte des grands nombres, l'inégalité de Kolmogorov ne requiert pas des variables de même loi.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Si , l'inégalité est vérifiée. Dans la suite, on suppose que

On pose

On remarque alors que, pour ,

En effet , alors que

Ainsi pour deux boréliens quelconques et , les deux évènements

appartiennent aux tribus et , respectivement. Ils sont donc indépendants en vertu du lemme de regroupement, ce qui implique bien . On a

où la troisième inégalité s'obtient en développant le carré en deux termes carrés (dont l'un est supprimé pour minorer l'expression précédente) et un double produit (de deux variables indépendantes, en vertu de ). L'égalité suivante tient à ce que est centrée (comme somme de v.a. centrées), et la dernière inégalité découle de la définition du temps d'arrêt  : par définition, au temps , on a . En faisant tendre vers l'infini on obtient

C.Q.F.D.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. On peut en trouver l'énoncé, la démonstration et le contexte, page 248 du livre de P. Billingley, Probability and measure, Wiley, 1re édition, 1979.