Identité de Dixon

En mathématiques, l'identité de Dixon (ou le théorème de Dixon ou la formule de Dixon) est l'une des nombreuses identités différentes mais étroitement liées prouvées par Alfred Cardew Dixon, certaines impliquant des sommes finies de produits de trois coefficients binomiaux, et d'autres qui spécialisent une série hypergéométrique. Ces identités découlent du théorème principal de MacMahon et peuvent désormais être démontrées de façon banale par des méthodes automatiques (Ekhad 1990), (Wilf 1994).

Énoncés

L'identité originale, dans (Dixon 1891), est

$\sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{\binom {2a}{k+a}}^{3}={\frac {(3a)!}{(a!)^{3}}}.$

Une généralisation, aussi parfois appelée identité de Dixon, est

$\sum _{k\in \mathbb {Z} }(-1)^{k}{\binom {a+b}{a+k}}{\binom {b+c}{b+k}}{\binom {c+a}{c+k}}={\frac {(a+b+c)!}{a!b!c!}}$

où a, b et c sont des entiers naturels (Wilf 1994, p. 156). La somme de gauche peut être écrite comme la série hypergéométrique bien équilibrée finie

${\binom {b+c}{b-a}}{\binom {c+a}{c-a}}{}_{3}F_{2}(-2a,-a-b,-a-c;1+b-a,1+c-a;1)$

et l'identité apparaît comme un cas limite (lorsque a tend vers un entier) du théorème de Dixon en spécialisant une série hypergéométrique généralisée ₃F₂ bien équilibrée en 1, d'après (Dixon 1902) :

$\;_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+a/2)\Gamma (1+a/2-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+a/2-b)\Gamma (1+a/2-c)}}.$

Ceci est valable pour Re(1 +¹⁄₂ a – b – c) > 0. Lorsque c tend vers –∞, l'identité se réduit à la formule de Kummer pour la fonction hypergéométrique ₂F₁ évaluée en –1. Le théorème de Dixon peut être déduit de l'évaluation de l'intégrale de Selberg.

q-analogues

Un q-analogue de la formule de Dixon pour la série hypergéométrique basique en termes du q-symbole de Pochhammer est donné par

$\;_{4}\varphi _{3}\left[{\begin{matrix}a&-qa^{1/2}&b&c\\&-a^{1/2}&aq/b&aq/c\end{matrix}};q,qa^{1/2}/bc\right]={\frac {(aq,aq/bc,qa^{1/2}/b,qa^{1/2}/c;q)_{\infty }}{(aq/b,aq/c,qa^{1/2},qa^{1/2}/bc;q)_{\infty }}}$

avec | qa^1/2 / bc | < 1.

Article connexe

• Théorème principal de MacMahon

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dixon's identity » (voir la liste des auteurs).
• A.C. Dixon, « On the sum of the cubes of the coefficients in a certain expansion by the binomial theorem », Messenger of Mathematics, vol. 20,‎ 1891, p. 79-80 (JFM 22.0258.01)
• A.C. Dixon, « Summation of a certain series », Proc. London Math. Soc., vol. 35, n^o 1,‎ 1902, p. 284-291 (DOI 10.1112/plms/s1-35.1.284, JFM 34.0490.02, lire en ligne)
• Shalosh B. Ekhad, « A very short proof of Dixon's theorem », Journal of Combinatorial Theory, a, vol. 54, n^o 1,‎ 1990, p. 141-142 (ISSN 1096-0899, DOI 10.1016/0097-3165(90)90014-N, MR 1051787, zbMATH 0707.05007)
• Ira Gessel et Dennis Stanton, « Short proofs of Saalschütz's and Dixon's theorems », Journal of Combinatorial Theory, Series A, vol. 38, n^o 1,‎ 1985, p. 87-90 (ISSN 1096-0899, DOI 10.1016/0097-3165(85)90026-3 , MR 773560, zbMATH 0559.05008)
• James Ward, « 100 years of Dixon's identity », Irish Mathematical Society Bulletin, vol. 0027, n^o 27,‎ 1991, p. 46-54 (ISSN 0791-5578, DOI 10.33232/BIMS.0027.46.54 , MR 1185413, zbMATH 0795.01009)
• Herbert S. Wilf, Generatingfunctionology, Boston, MA, Academic Press, 1994, 2^e éd. (ISBN 0-12-751956-4, zbMATH 0831.05001)