Formule genre-degré

En géométrie algébrique, la formule genre - degré est une équation reliant le degré d d'une courbe plane irréductible $C$ avec son genre arithmétique g par la formule :

$g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2).$

Ici « courbe plane » signifie que $C$ est une courbe fermée dans le plan projectif $\mathbb {P} ^{2}$. Si la courbe est non singulière, le genre géométrique et le genre arithmétique sont égaux, mais si la courbe est singulière, avec seulement des singularités ordinaires, le genre géométrique a priori est plus petit. Plus précisément, une singularité ordinaire de multiplicité r diminue le genre de ${\frac {1}{2}}r(r-1)$.

Généralisation

Pour une hypersurface non singulière $H$ de degré d dans le plan projectif $\mathbb {P} ^{n}$ de genre arithmétique g la formule devient :

$g={\binom {d-1}{n}},\,$

où ${\tbinom {d-1}{n}}$ est le coefficient binomial.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Genus–degree formula » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Conjecture de Thom (en)