Plan projectif

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La notion de plan projectif a deux sens distincts, qui se recoupent.

Géométrie algébrique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Espace projectif.

Un plan projectif en géométrie algébrique est une variété particulière : l'espace projectif de dimension 2. On peut associer un plan projectif à tout corps commutatif (corps des réels, corps des complexes, corps finisetc.) ou non commutatif (quaternions…), et même à l'algèbre (non associative) à division des octonions (voir « Plan de Cayley (en) »).

Intuitivement, la droite projective sur un corps K est une droite affine sur K complétée par un point, appelé point à l'infini. Elle est en bijection avec K ∪ {∞}. Le plan projectif sur K est un plan affine complété par la droite à l'infini (l'ensemble de ces points à l'infini), de façon que deux droites distinctes aient un point commun.

Axiomes et plans projectifs[modifier | modifier le code]

Un plan projectif est un ensemble de points et un ensemble de droites (c'est-à-dire de groupements de points qu'on appellera droites), vérifiant certains axiomes d'incidence (cf. article détaillé).

Girard Desargues est le créateur de la géométrie projective, étude de propriétés qui se conservent par projection centrale : alignement, point de concours et birapport.

Une particularité de la dimension 2 est qu'un plan projectif peut ne pas satisfaire la propriété de Desargues. Un plan projectif arguésien (satisfaisant la propriété de Desargues) est un espace projectif de dimension 2 sur un corps quelconque. Il satisfait de plus la propriété de Pappus si le corps est commutatif.