Formule de Mollweide

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Notations usuelles pour un triangle.

Les formules de Mollweide, nommées d'après le mathématicien et astronome prussien Carl Brandan Mollweide (de) (1774-1825), sont les identités trigonométriques suivantes en géométrie du triangle[1],[2] :

où (cf. figure ci-contre) a, b et c désignent les longueurs des côtés d'un triangle ABC et α, β et γ les mesures des angles opposés.

La loi des tangentes en est un corollaire immédiat, compte tenu du fait que γ/2 est complémentaire de α + β/2 (donc le cosinus de l'un est égal au sinus de l'autre).

Démonstration[modifier | modifier le code]

On utilise la loi des sinus, puis une formule de Simpson au numérateur et une formule de l'angle double au dénominateur :

ce qui prouve la première formule. La seconde se démontre de même.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Ernest J. Wilczynski (de), Plane Trigonometry and Applications, Allyn & Bacon (en), 1914, p. 102.
  2. (en) Michael Sullivan, Trigonometry, Dellen Publishing Company, 1988, p. 243.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) « Mollweide's formula : A proof », sur math.stackexchange

Articles connexes[modifier | modifier le code]