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Formule d'Abel-Plana

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En mathématiques, la formule d'Abel-Plana est une formule de sommation découverte indépendamment par Niels Henrik Abel (en 1823) et Giovanni Antonio Amedeo Plana (en 1820). Elle établit que [1]

Pour le cas on a :

Cette formule est vraie pour les fonctions ƒ qui sont holomorphes dans la région Re(z) ≥ 0, et satisfaire une condition de croissance appropriée dans cette région ; par exemple, il suffit de supposer que |ƒ| est borné par C/|z|1+ε dans cette région pour certaines constantes C, ε > 0, bien que la formule soit également valable sous des limites beaucoup plus faibles (Olver 1997, p.290).

Un exemple est fourni par la fonction zêta de Hurwitz :

qui est vérifiée pour tout .

Abel a également donné la variation suivante pour les séries alternées :

qui est lié à la formule de sommation de Lindelöf [2]

Soit holomorphe sur , tel que , on a et pour , on a . On prend avec le théorème des résidus

Alors

En utilisant le théorème intégral de Cauchy pour la dernière intégrale

obtenant ainsi

Cette identité reste vraie par prolongement analytique partout où l'intégrale converge, donc en faisant tendre on obtient la formule d'Abel-Plana

Le cas ƒ (0) ≠ 0 s'obtient de manière similaire en remplaçant par deux intégrales le long des mêmes courbes avec un petit écart à gauche et à droite de 0.

Lien avec la formule d'Euler-Maclaurin

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En développant sous forme de série entière le terme dans l'intégrande, on peut retrouver la formule d'Euler-Maclaurin.

Applications

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La formule d'Abel-Plana a été utilisée comme alternative à la formule d'Euler-Maclaurin dans le calcul de séries divergentes, notamment celles apparaissant dans l'électrodynamique quantique[3].

Articles connexes

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Références

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  1. Charles Hermite, « Extrait de quelques lettres de M. Ch. Hermite à M. S. Píncherle », Annali di Matematica Pura ed Applicata, vol. III, no 5,‎ , p. 57–72
  2. Gradimir V. Milovanovic, « Summation Formulas of Euler-Maclaurin and Abel-Plana: Old and New Results and Applications »
  3. (en) Aram A. Saharian, « The generalized Abel-Plana formula with applications to Bessel functions and Casimir effect », preprint,‎ (DOI 10.48550/arXiv.0708.1187)
  • N. H. Abel, Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies,
  • (en) P. L. Butzer, P. J. S. G. Ferreira, G. Schmeisser et R. L. Stens, « The summation formulae of Euler–Maclaurin, Abel–Plana, Poisson, and their interconnections with the approximate sampling formula of signal analysis », Results in Mathematics, vol. 59, no 3,‎ , p. 359–400 (ISSN 1422-6383, DOI 10.1007/s00025-010-0083-8, MR 2793463, S2CID 54634413)
  • (en) Frank William John Olver, Asymptotics and special functions, Wellesley, MA, A K Peters Ltd., coll. « AKP Classics », (1re éd. 1974) (ISBN 978-1-56881-069-0, MR 1429619)
  • G. A. A. Plana, « Sur une nouvelle expression analytique des nombres Bernoulliens, propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la sommation des suites », Mem. Accad. Sci. Torino, vol. 25,‎ , p. 403–418
  • (en) Jonathan Dowling, « The Mathematics of the Casimir effect »,

Liens externes

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