Fonction de Thomae

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Graphe de la fonction de Thomae sur [0, 1].

La fonction de Thomae (parfois appelée fonction pop-corn) constitue une exemple de fonction réelle à la fois continue en tout point d'une partie dense (l'ensemble des irrationnels) et discontinue sur une autre partie dense (l'ensemble des rationnels). La fonction de Thomae est définie par

(une fraction irréductible est un quotient p/q de deux entiers premiers entre eux, avec q > 0).

La fonction de Thomae est une variante de la fonction de Dirichlet. Elle est nommée en l'honneur du mathématicien Carl Johannes Thomae qui l'a définie pour la première fois en 1875.

Propriétés[modifier | modifier le code]

La fonction T de Thomae est limite uniforme d'une suite de fonctions Tn dont chacune, sur tout segment [a, b], est nulle sauf en un nombre fini de points. Par conséquent :

  • T est un exemple de fonction continue sur et discontinue sur . À l'inverse, il n'existe aucune fonction discontinue sur et continue sur . En effet, n'est pas un Gδ, alors que l'ensemble des points de continuité d'une fonction réelle en est un.

Fonction de Thomae et verger d'Euclide[modifier | modifier le code]

Vue plane de l'un des quadrants du verger d'Euclide. Les arbres en bleu sont ceux visibles depuis l'origine.
Vue en perspective du verger d'Euclide depuis l'origine, en regardant dans la direction de la bissectrice.

Cette fonction est utilisée pour mettre en évidence certains comportements curieux liés à la définition des notions de limite et de continuité en mathématiques. Bien que d'apparence étrange, elle peut s'introduire très naturellement, par l'exemple du « verger d'Euclide »[2].

Considérons le réseau formé par les segments de droites verticaux joignant (i, j, 0) à (i, j, 1) , où i et j décrivent l'ensemble des entiers strictement positifs. Ces segments, qui représentent des arbres plantés de façon régulière forment le « verger d'Euclide ».

Les arbres visibles depuis l'origine correspondent aux points du réseau (i, j, 0) où i et j sont premiers entre eux. Si le verger est projeté selon une perspective linéaire relativement à l'origine sur le plan x + y = 1 (c'est-à-dire s'il est vu en perspective depuis l'origine en regardant l'image formée sur un plan perpendiculaire à la première bissectrice), les sommets des arbres projetés forment le graphe de la fonction de Thomae.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Différentiabilité[modifier | modifier le code]

La « fonction de Thomae modifiée » suivante[1] est associée à n'importe quelle suite réelle décroissante a = (aq)q>0 convergeant vers 0 :

Elle a le même comportement que T du point de vue de la continuité et est encore non dérivable sur un ensemble non dénombrable dense d'irrationnels. Cependant, pour tout ensemble dénombrable E d'irrationnels, il existe une suite a telle qu'en tout point de E, Ta soit dérivable (donc de dérivée nulle). De plus, le domaine de dérivabilité de Ta, déterminé par la rapidité de la décroissance de la suite a, est souvent beaucoup plus gros. Par exemple[1],[3] :

  • pour aq = 1/qk, Ta n'est dérivable nulle part si k ≤ 2 mais si k > 2, elle est dérivable en tout irrationnel de mesure d'irrationalité strictement inférieure à k, donc presque partout (et sur une partie dense) ;
  • pour aq = 1/eq, Ta est même dérivable en tout irrationnel qui n'est pas de Liouville.

Bijectivité[modifier | modifier le code]

Posons , et pour q entier supérieur ou égal à 2, posons l'ensemble des fractions p décrit l'ensemble des entiers relatifs non nuls tels que p soit premier avec q. La famille des forme une partition de . Pour chaque q, est un ensemble discret pour lequel on peut dénombrer les éléments par ordre strictement croissant , étant le plus petit élément positif ou nul de . Posons alors :

On peut alors montrer[4] que f est une fonction bijective de dans , continue en tout point irrationnel, discontinue en tout point rationnel.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a b c et d (en) Kevin Beanland, James W. Roberts et Craig Stevenson, « Modifications of Thomae's function and Differentiability », Amer. Math. Monthly, vol. 116, no 6,‎ , p. 531-535 (lire en ligne).
  2. Jean-Paul Delahaye, « Des fonctions monstrueuses mais utiles », Pour la science, no 517,‎ , p. 80-85
  3. (en) Judith D. Sally et Paul J. Sally, Jr. (en), Roots to Research : A Vertical Development of Mathematical Problems, AMS, , 338 p. (ISBN 978-0-8218-7267-3, lire en ligne), p. 232.
  4. (en) Zoltán Kánnai, « A one-to-one popcorn fonction », Amer. Math. Monthly, vol. 124, no 8,‎ , p. 746-748