Ensemble discret

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En mathématiques, plus précisément en topologie, un ensemble discret est un sous-ensemble d'un espace topologique sur lequel la topologie induite est la topologie discrète.

Traduction[modifier | modifier le code]

Un sous-ensemble D d'un espace topologique E est discret si pour tout x de D, il existe un voisinage de x dans E ne contenant aucun autre élément de D que x.

Exemples et contre-exemples[modifier | modifier le code]

  • Les sous-ensembles discrets d'un espace topologique quelconque ne sont pas toujours dénombrables.
  • Les sous-ensembles discrets de l'ensemble R des nombres réels (muni de sa topologie usuelle) le sont.
  • L'ensemble des rationnels est dénombrable, mais pas discret dans R.
  • L'exemple typique d'un ensemble de réels discret infini et borné est celui des 1/n pour tout entier n non nul.

Emploi[modifier | modifier le code]

Cette notion est utilisée par exemple en optimisation combinatoire pour désigner des ensembles finis ou des ensembles qui ont «essentiellement la même nature que» l'ensemble des entiers naturels, c'est-à-dire les ensembles qui sont en bijection avec celui-ci[réf. souhaitée].