Équation de Weierstrass

En mathématiques, une équation de Weierstrass, aussi appelée forme de Weierstrass, est une forme simplifiée de l'équation d'une courbe elliptique. La simplification de la forme générale

$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$

à la forme de Weierstrass peut se faire par changement de variable, mais dépend de la caractéristique du corps commutatif K sur lequel la courbe elliptique est définie (c'est-à-dire le corps auquel appartiennent les coefficients a_k).

Il y a trois types d'équations de Weierstrass.

• Si la caractéristique de K est différente de 2 et 3 (ce qui inclut les cas où elle est nulle, par exemple quand K est le corps des réels, des complexes ou des rationnels) alors l'équation de Weierstrass pour une courbe elliptique est de la forme

$y^{2}=x^{3}+ax+b$

où a, b sont des éléments de K.

• Si la caractéristique de K est 3 (par exemple si K est le corps fini à 3^r éléments) alors l'une des deux simplifications suivantes est applicable :

$y^{2}=x^{3}+ax^{2}+b$ (cas ordinaire)

$y^{2}=x^{3}+ax+b$ (cas supersingulier)

où a, b sont des éléments de K.

• Si la caractéristique de K est 2 (par exemple si K est le corps fini à 2^r éléments) alors l'une des deux simplifications suivantes est applicable :

$y^{2}+xy=x^{3}+ax^{2}+b$ (cas ordinaire)

$y^{2}+cy=x^{3}+ax+b$ (cas supersingulier)

où a, b (respectivement, a, b, c) sont des éléments de K.