Équation de Weierstrass

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En mathématiques, une équation de Weierstrass, aussi appelée forme de Weierstrass, est une forme simplifiée de l'équation d'une courbe elliptique. La simplification de la forme générale

à la forme de Weierstrass peut se faire par changement de variable, mais dépend de la caractéristique du corps commutatif K sur lequel la courbe elliptique est définie (c'est-à-dire le corps auquel appartiennent les coefficients ak).

Il y a trois types d'équations de Weierstrass.

  • Si la caractéristique de K est différente de 2 et 3 (ce qui inclut les cas où elle est nulle, par exemple quand K est le corps des réels, des complexes ou des rationnels) alors l'équation de Weierstrass pour une courbe elliptique est de la forme
a, b sont des éléments de K.
  • Si la caractéristique de K est 3 (par exemple si K est le corps fini à 3r éléments) alors l'une des deux simplifications suivantes est applicable :
(cas ordinaire)
(cas supersingulier)
a, b sont des éléments de K.
  • Si la caractéristique de K est 2 (par exemple si K est le corps fini à 2r éléments) alors l'une des deux simplifications suivantes est applicable :
(cas ordinaire)
(cas supersingulier)
a, b (respectivement, a, b, c) sont des éléments de K.