Enveloppe de Snell

L'enveloppe de Snell, utilisée en calcul stochastique et en mathématiques financières, est la plus petite sur-martingale majorant un processus stochastique. Le nom de l'enveloppe de Snell provient du mathématicien James Laurie Snell (en).

Définition

Étant donné un espace probabilisé filtré $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},\mathbb {P} )$ et une mesure de probabilité absolument continue $\mathbb {Q} \ll \mathbb {P}$ alors un processus adapté $U=(U_{t})_{t\in [0,T]}$ est l'enveloppe de Snell (sous la mesure $\mathbb {Q}$) du processus $X=(X_{t})_{t\in [0,T]}$ si

1. $U$ est une $\mathbb {Q}$-sur-martingale
2. $U$ majore $X$, c.-à-d. $U_{t}\geq X_{t}$ $\mathbb {Q}$-presque sûrement pour tout $t\in [0,T]$
3. Si $V=(V_{t})_{t\in [0,T]}$ est une $\mathbb {Q}$-sur-martingale qui majore $X$, alors $V$ majore $U$.

Construction en temps discret

Étant donné $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{n})_{n=0}^{N},\mathbb {P} )$ et $\mathbb {Q}$ comme ci-dessus, l'enveloppe de Snell $(U_{n})_{n=0}^{N}$ (sous la mesure $\mathbb {Q}$) du processus $(X_{n})_{n=0}^{N}$ est donnée par l'algorithme descendant récursif

$U_{N}:=X_{N},$

$U_{n}:=X_{n}\lor \mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[U_{n+1}\mid {\mathcal {F}}_{n}]$ pour $n=N-1,\dots ,0$

où $\lor$ est le max.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Snell envelope » (voir la liste des auteurs).