Théorème de Pappus

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Configuraton de Pappus : Dans l'hexagone AbCaBc, où les points A, B, C, d'une part et a, b, c d'autre part, sont alignés, les points X, Y, Z le sont aussi.

Le théorème de Pappus est un théorème de géométrie concernant l'alignement de trois points : si on considère trois points alignés A, B, C et trois autres points également alignés a, b, c, les points d'intersection des droites (Ab)-(Ba), (Ac)-(Ca), et (Bc)-(Cb) sont également alignés.

Il s'agit fondamentalement d'un théorème de géométrie projective plane qui possède plusieurs déclinaisons en géométrie affine. En géométrie projective il s'énonce uniquement en termes d'alignements de points et d'intersections de droites, et se démontre dans n'importe quel plan projectif construit sur un corps commutatif. En géométrie affine, il peut se démontrer à l'aide du théorème de Ménélaüs.

Dans une approche axiomatique de la géométrie projective, il peut être pris comme axiome et caractérise alors, parmi les plans vus comme structure d'incidence, ceux qui peuvent être construit sur un corps commutatif, de même en géométrie affine pour l'avatar affine du théorème de Pappus (voir plan affine arguésien). Il a pour conséquence l'axiome de Desargues qui se déduit des axiomes d'incidence et de l'axiome de Pappus par le théorème de Hessenberg.

Il s'agit d'un cas particulier d'hexagramme de Pascal.

Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien grec Pappus d'Alexandrie.

Énoncé du théorème[modifier | modifier le code]

Théorème de Pappus

Dans un plan, soient A_1, B_1, C_1 trois points distincts alignés sur une droite (d) , et soient A_2, B_2, C_2 trois autres points distincts alignés sur une autre droite (d^\prime) alors les points

  • A intersection de (B_2C_1) avec (C_2B_1)
  • B intersection de (A_2C_1) avec (C_2A_1)
  • C intersection de (A_2B_1) avec (B_2A_1)

sont alignés.

Il s'agit d'un théorème de géométrie projective donc les points considérés peuvent être propres ou impropres. Dans le cas où tous les points sont propres, on obtient une configuration du type ci-contre.



Remarques :

si l'on note (\Delta) la droite portant les points A,B,C alors les assertions suivantes sont équivalentes (en géométrie projective) :

-- les trois droites (d), (d^\prime) et (\Delta) sont concourantes ;

-- les trois droites (A_1 A_2) (B_1 B_2) (C_1 C_2) sont concourantes ;

-- les six droites « croisillons » (B_2C_1) (C_2B_1) (A_2C_1) (C_2A_1) (A_2B_1) (B_2A_1) sont tangentes à une même conique.

-- Les deux droites (d) et (d^\prime) peuvent être considérées comme une conique dégénérée : pour l'hexagramme A_1B_2C_1A_2B_1C_2, le théorème de Pappus-Pascal affirme l'alignement des points A, B et C.


Démonstration à l'aide des applications projectives[modifier | modifier le code]

Démonstration du théorème

On construit les points O intersection de (d) et (d'), D intersection de (A_1B_2) et (A_2C_1) et E intersection de (A_1C_2) et (C_1B_2)

On considère la projection centrale p de la droite (A_1B_2) sur la droite (d) de centre A_2

  • A_1 a pour image A_1
  • C a pour image B_1
  • D a pour image C_1
  • B_2 a pour image O

On considère la projection centrale q de la droite (d) sur la droite (B_2C_1) de centre C_2

  • A_1 a pour image E
  • B_1 a pour image A
  • C_1 pour image C_1
  • O a pour image B_2

Par l'application projective q o p de la droite (A_1B_2) sur la droite (B_2C_1)

  • A_1 a pour image E
  • C a pour image A
  • D a pour image C_1
  • B_2 a pour image B_2

Si on regarde maintenant la projection centrale r de la droite (A_1B_2) sur la droite (B_2C_1) de centre B

  • A_1 a pour image E
  • D a pour image C_1
  • B_2 a pour image B_2

Or, une application projective d'une droite sur une autre est entièrement déterminée par l'image de trois points distincts. Les transformations q o p et r coïncident sur A_1, D et B_2. Elles sont donc égales et r(C) = A. Les points A, B et C sont donc alignés.


Démonstration en géométrie affine par le théorème de Ménélaüs[modifier | modifier le code]

Démonstration du théorème de Pappus à l'aide de Ménélaüs

Le théorème a plusieurs avatars affines qui se déduisent chacun de la version projective par choix d'une droite à l'infini. On suppose ici comme ci-dessus que les 2 triplets de points distincts (A_1, B_1, C_1) d'une part, (A_2, B_2, C_2) d'autre part, sont chacun alignés sur deux droites distinctes. On ajoute comme condition que (B_2C_1) et (C_2B_1) sont sécantes (en A), ainsi que (A_2C_1) et (C_2A_1) (en B), et que (A_2B_1) et (B_2A_1) (en C). On en déduit par le théorème de Pappus que A, B et C sont alignés.

En voici une démonstration directe en géométrie affine, moyennant quelques conditions supplémentaires, à savoir que (A_2B_1) et (B_2C_1) sont sécantes en J_1, (B_2C_1) et (A_1C_2) en L_1, (A_2B_1) et (A_1C_2) en K_1.

Les trois points ainsi définis sont alors distincts et non alignés et définissent le triangle (en bleu sur la figure) J_1K_1L_1.

  • la droite (A_1C_1) intersecte les trois côtés du triangle en A_1, B_1, C_1
  • la droite (A_2C_2) intersecte les trois côtés du triangle en A_2, B_2, C_2
  • la droite (B_1C_2) intersecte les trois côtés du triangle en B_1, A, C_2
  • la droite (A_2C_1) intersecte les trois côtés du triangle en A_2, B, C_1
  • la droite (A_1B_2) intersecte les trois côtés du triangle en A_1, C, B_2

D'après Ménélaüs, ces alignements se traduisent par les égalités suivantes :

\frac{\overline{A_1K_1}}{\overline{A_1L_1}}\times \frac{\overline{B_1J_1}}{\overline{B_1K_1}} \times \frac{\overline{C_1L_1}}{\overline{C_1J_1}} = 1
\frac{\overline{A_2J_1}}{\overline{A_2K_1}}\times \frac{\overline{B_2L_1}}{\overline{B_2J_1}} \times \frac{\overline{C_2K_1}}{\overline{C_2L_1}} = 1
\frac{\overline{B_1K_1}}{\overline{B_1J_1}}\times \frac{\overline{AJ_1}}{\overline{AL_1}} \times \frac{\overline{C_2L_1}}{\overline{C_2K_1}} = 1
\frac{\overline{A_2K_1}}{\overline{A_2J_1}}\times \frac{\overline{BL_1}}{\overline{BK_1}} \times \frac{\overline{C_1J_1}}{\overline{C_1L_1}} = 1
\frac{\overline{A_1L_1}}{\overline{A_1K_1}}\times \frac{\overline{CK_1}}{\overline{CJ_1}} \times \frac{\overline{B_2J_1}}{\overline{B_2L_1}} = 1


En multipliant membre à membre ces cinq égalités, il reste après simplification :

\frac{\overline{AJ_1}}{\overline{AL_1}}\times \frac{\overline{BL_1}}{\overline{BK_1}} \times \frac{\overline{CK_1}}{\overline{CJ_1}} = 1

ce qui prouve d'après la réciproque de Ménélaüs l'alignement des trois points A, B et C.

Une démonstration analogue peut être faite, en modifiant les conditions supplémentaires, avec le triangle J_2K_2L_2 (en rouge sur la figure). Dans ce cas, les trois droites (B_1C_2), (A_2C_1) et (A_1B_2) (en rouge sur la figure) échangent leur rôle avec les trois droites (B_2C_1), (A_1C_2) et (A_2B_1) (en bleu sur la figure).

On déduit la version projective du théorème de Pappus de cette version affine en choisissant judicieusement dans le plan projectif une droite à l'infini, pour se ramener au plan affine de façon à vérifier toutes les conditions du théorème démontré par Ménélaüs.

Notions connexes[modifier | modifier le code]

Sources[modifier | modifier le code]

  • Leçons de géométrie projective de F. Enriqués
  • Petite encyclopédie de mathématiques Ed. Didier
  • Enfin un site où sont donnés de nombreux développements sur le Thèorème de Pappus : Merveilleux Pappus