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Diviseur de zéro

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En mathématiques, dans un anneau, un diviseur de zéro est un élément non nul dont le produit par un certain élément non nul est égal à zéro[1]. Un élément non nul qui n'est pas un diviseur de zéro est appelé élément régulier.

Définition formelle

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Soient un anneau et tel que , où est l'élément neutre pour la loi .

On dit que est un diviseur de zéro à gauche dans si[2]

.

On dit que est un diviseur de zéro à droite dans si

.

On dit que est un diviseur de zéro dans si est un diviseur de zéro à gauche dans ou un diviseur de zéro à droite dans [3].

Un élément de est dit régulier s'il n'est ni nul, ni diviseur de zéro.

Un diviseur de zéro ne peut pas être inversible ; en particulier, un corps commutatif (ou même un corps gauche) ne contient pas de diviseur de zéro. En effet, soit un élément d'un anneau diviseur de zéro. On suppose que est inversible. Alors par définition il existe non nul tel que , et en composant par à gauche il vient , contradiction.

Anneau intègre

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Un anneau commutatif est dit intègre s'il n'est pas réduit à zéro et n'admet aucun diviseur de zéro.

Entiers relatifs et nombres réels

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L'anneau Z des entiers relatifs est intègre, ainsi que le corps commutatif des nombres rationnels, ou réels, ou complexes (tout corps de manière générale).

Anneaux Z/nZ

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Dans l'anneau Z/6Z, la classe de 4 est un diviseur de zéro, car 4 × 3 est congru à 0 modulo 6, alors que 3 et 4 ne sont pas congrus à 0 modulo 6.

Plus généralement, dans l'anneau Z/nZ pour n > 0, comme dans tout anneau fini, tout élément régulier est inversible donc les diviseurs de zéro sont exactement les éléments non nuls et non inversibles. Par conséquent (d'après le théorème de Bachet-Bézout) ce sont les classes modulo n des entiers relatifs qui ne sont ni divisibles par n, ni premiers avec n.

L'anneau des matrices carrées à deux lignes et deux colonnes réelles contient des diviseurs de zéro. Par exemple, la matrice

est un diviseur de zéro, en effet elle est non nulle, et on a

.

Plus généralement, soit une matrice de à coefficients dans un corps et soit , l'application linéaire associée. Il existe une matrice non nulle à colonnes (resp. lignes) telle que (resp. ) est la matrice nulle si et seulement si n'est pas surjective (resp. pas injective). Lorsque , les deux conditions sont équivalentes, de sorte que les diviseurs de zéro de sont les matrices non inversibles.

Anneaux de fonctions

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Les anneaux de fonctions offrent de nombreux exemples de diviseurs de zéro. En effet, si X est un ensemble, dans l'anneau X des fonctions de X dans ℝ, toute fonction f non nulle mais admettant au moins un point d'annulation est un diviseur de zéro. En effet, pour toute fonction g qui s'annule partout où f ne s'annule pas, on a fg = 0.

Plus généralement, pour tout anneau A, les diviseurs de zéro de l'anneau AX sont les fonctions non nulles admettant 0 ou un diviseur de zéro dans leur image.

Dans l'anneau des fonctions continues de [0, 1] dans ℝ, les diviseurs de zéros sont les fonctions non nulles qui s'annulent sur (au moins) un intervalle non trivial[4].

Notes et références

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  1. Il ne s'agit donc pas tout à fait de la particularisation à a = 0 de la notion de diviseur d'un élément a, puisqu'on exige ici que les deux facteurs soient non nuls.
  2. Aviva Szpirglas, Exercices d'algèbre, Paris, Cassini, (ISBN 2-84225-128-8), p. 199.
  3. Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algèbre [détail des éditions], vol. 1, p. 152.
  4. Énoncé dans (en) Alexei I. Kostrikin, Exercises in Algebra, CRC Press, (lire en ligne), p. 254, exercice 6330 (avec indication p. 416) et démontré dans (en) « What are the zero divisors of C[0, 1]? », sur math.stackexchange.com.

Article connexe

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Anneau sans diviseur de zéro