Discussion:Théorème de Borsuk-Ulam

Preuve du théorème du jambon

Je crois qu'il y a un petit trou dans cette preuve : on parle d'un point p_x qui n'est à mon sens pas défini parcequ'il n'y a pas unicité de l'hyperplan orthogonal à x découpant à A en deux morceaux égaux (typiquement si A est formé de deux morceaux de même volume vivant par exemple dans les demi-espaces x<0 et x>1 respectivement, on peut même imaginer les recoller avec un truc de mesure nulle comme un segment)... Voilà ce que j'arrive à dire : ayant fixé une direction x, les translatés tH de l'hyperplan (linéaire) orthonormal à x par le vecteur tx découpent l'espace en deux (disosn une partie en bas et l'autre en haut pour simplifier, le "en haut" étant dans le sens croisant de t...). La fonction f qui à t associe le volume de A inter la partie du bas définie par tH est croissante, continue, nulle pour t assez petit et vaut le volume V de A pour t assez grand et par continuité on peut définir [t_0,t_1] ou f(t_0)=0 et f(t_1)=V. Par TVI il existe bien un t qui le coupe en deux mais il n'ya pas de raisons qu'il y ait unicité, pour se faire il suffirait d'avoir la stricte monotonie mais ca doit imposer des conditions sur le solide A (peut être que A convexe suffirait)... Alexandre alexandre (d) 4 juillet 2011 à 21:59 (CEST)

Tu as raison, il faudrait boucher ce "petit trou", mais pas besoin d'unicité : s'il y en a plusieurs il suffit de choisir (de façon continue). Dans en:Ham sandwich theorem#Reduction to the Borsuk–Ulam theorem ils choisissent celui du milieu (j'aurais choisi le plus bas, ça doit marcher aussi). Anne Bauval (d) 5 juillet 2011 à 01:24 (CEST)

ok convaincu : t_0 et t_1 varient continuement en x et on choisit p_x=(t_0+t_1)/2 x. Par contre en prenant deux points antipodaux, l'orientation de la droite est changée ; du coup, prendre le point médiant permet de dire que les deux hyperplans en x et en -x sont bien les mêmes, alors que j'ai l'impression qu'en prenant le "plus bas" on en pourrait en avoir deux différents. Qu'en penses-tu ?Alexandre alexandre (d) 5 juillet 2011 à 10:01 (CEST)

Tu as (encore !) raison. Anne Bauval (d) 5 juillet 2011 à 10:21 (CEST)

ok, merci. Alors je propose de reprendre en grande partie la preuve anglaise : Soit A_1,...,A_n les n parties bornées et mesurables de \R^n que l'on souhaite couper en deux parties d'égale mesure. Ayant fixée une direction x de S^{n-1} on dispose pour tout vecteur tx, t\in\R d'un demi-espace défini par l'hyperplan orthonormal à x passant par tx et conenant (t+1)x. Le volume V_1(t,x) de A_1 intersecté par ce demi-espace décroit avec t, et puisque A_1 est borné il est nul pour t assez grand et vaut le volume total V_1 de A_1 pour t assez petit. Par théorème des valeurs intermédiaire il existe un réel t tel que V(t,x)=\frac{V_1}{2}. Par monotonie et continuité cette ensemble de réel t est un segment [t'(x),t"(x)] qui vérifie [t'(x),t"(x)]=[-t'(-x),-t"(-x)], car en passant de x à -x on a changé l'orientation. On pose alors t(x)=\frac{t'(x)+t"(x)}{2} qui est une fonction continue de x vérifiant V_1(t(x),x)=\frac{V_1}{2} pour toute direction x. Par ailleurs la fonction f:S^{n-1}\ni x\mapsto (V_2(t(x),x),\dots,V_n(t(x),x)) est également continue et on peut lui appliquer le théorème de Borsuk-Ulam et disposer d'une direction x tel que f(x)=f(-x). Cette égalité montre que l'yhperplan orthonormal à x et passant par t(x)x=t(-x)(-x) coupe les A_i, i=2\ðots n en deux morceaux de même mesure car en passant de x à -x on change d'orientation et donc de demi espace. De plus la réunion de ces deux morceaux est A_i tout entier tandis que leur intersection est contenue dans un hyperplan donc de mesure nulle. Bref, V_i(t(x),x)=V_i(t(-x),-x)=\frac{V_i}{2} qui est également vrai pour i=1 par définition. Ceci achève la preuve.Alexandre alexandre (d) 6 juillet 2011 à 11:12 (CEST)

Plus annecdotique

J'avais plutôt entendu parler du théorème de la tartine de confiture  : découper une tartine de confiture le long d'une droite de sorte que les deux morceaux aient autant de confiture et autant de pain. Je ne sais pas ce qui est le plus usité en français (je préfère la tartine parcequ'avec le sandwich on compte bien trois morceaux : les deux de pain et le jambon, mais découper équitablement chacun des morceaux de pain on s'en fout, ce qui compte c'est d'avoir autant de pain. Du coup on pourrait parler du théorème du sandwich jambon/fromage... Ca mettrait en avant le fait que les morceaux n'ont pas besoin d'être connexes, mais là on rentre dans l'inedit...) En plus la tartine utilise le cas S^1 \ŧo \R qui est beaucoup plus facile.Alexandre alexandre (d) 6 juillet 2011 à 13:59 (CEST)