Discussion:Récurrence transfinie

Lemme de Zorn

Le passage sur le lemme de Zorn ne faisait pas référence à AC mais à l'aspect chaînes inductives. Je ne sais pas s'il est tout à fait exact que le lemme de Zorn a été inventé pour éviter les ordinaux, mais les résultats qui se démontrent par Zorn se démontrent par récurrence ordinale + AC. Je crois que Bourbaki, qui n'aimait pas les ordinaux, a poussé pour l'utilisation du lemme de Zorn. Le texte qui en faisait mention était de utilisateur:CD (analyste). Proz 29 juillet 2007 à 22:56 (CEST)

Sur le lemme de Zorn + position de Bourbaki, que j'ai p.e. viré trop rapidement, ce que tu dis me semble très intéressant. En l'absence, à ce qui me semble de [[User:HC[HC]], p.e. peux-tu restaurer et reformuler le truc avec c'icelle blabla quitte à mettre 1 ou 2 {{références nécessaires} }? Perso, sur un des bouquins de Dieudonné que j'ai consulté je n'ai pas vu ref à cela. Je n'ai plus l'intention de toucher à l'intro; donc n'hésite pas. J'ai restauré le texte.

D'accord, je ne touche pas au reste de l'intro, j'ai rétabli sous une forme un peu plus neutre. Pour le reste il faudrait effectivement des références précises. Proz 30 juillet 2007 à 11:27 (CEST)

Construction par récurrence transfinie

Je signale qu'à ce jour (avant la reprise en main du 29 juillet 2007), la preuve donnée dans le § construction par récurrence n'est pas correcte, ou pour le moins incomplète. Pour pouvoir parler de U il faut d'abord la définir. La preuve donnée montre qu'une fonction partielle qui vérifie la relation de récurrence est forcément totale, et à peu de frais qu'il y en a au plus une, mais ne donne pas l'existence de U (fonction si on est sur un ordinal comme actuellement, classe fonctionnelle sinon). Proz 29 juillet 2007 à 23:11 (CEST)

@ Proz Puisque tu n'as pas voulu y aller je commence des gros travaux sur l'article, mais je répète que je ne crois pas être le plus avisé sur wp pour le faire.

Outre les aspects formels (forcément à relire) j'ai un soucis de didactique qui me fait orienter tout article en explications depuis l'origine des choses en tout propos (ce qui peut être lourdingue et redondant)., ce qui n'est visiblement pas ta manière de rédiger.

Donc ici je suis en cours de subdiviser l'article en 8 sections (def/dem, classe/ensemble, ens bo/ordinaux) sans me sentir apte à remplir chaque section et en faisant des transitions qui peuvent paraître osées en généralité. Mais bien sûr à terme cela devra être harmonisé.

Maintenant ce qui fut antérieurement écrit et qui est pertinent, je ne sais où trop le mettre. Pour l'instant je le mets sous des lignes "-----" en attendant exploitation.

Tes commentaires avisés m'éclairent (et file-les moi ici), mais laisse moi encore un peu de temps pour la rédaction avant d'amender en correction cet article. Pour exemple "U" n'est pas défini,ok, je cherche moins à amender l'existant qu'à le reprendre à 0. (mais y aura du boulot après).

--Epsilon0 ε₀ le 29 ou le 30 juillet 2007

Ma foi je ne suis pas sûr effectivement qu'il soit si didactique de revenir en tout et dès le début à l'origine, mais diverses approches doivent pouvoir coexister (je ne crois pas non plus qu'il y ait une seule approche idéalement "neutre"). Après tout l'intérêt c'est de rédiger, et de se confronter (espérons-le) à quelques critiques.

Tu pourrais récupérer la définition par récurrence sur les ordinaux de l'existant (plus claire que la tienne dans l'état actuel, je comprends tes problèmes de connexion), si tu souhaites conserver quelquechose les deux premiers paragraphes en fait ne sont pas si mal (mais le premier peut être mis dans une autre section). Pour le reste, c'est incorrect où ça confond définition et raisonnement par récurrence, n'hésite pas à tout effacer à mon avis.

La partie sur la cardinalité : je ne comprends pas où Utilisateur:CD (je crois) voulait en venir. Comme il ne participe plus depuis 2 ans j'a peur qu'on ne le sache jamais. N'hésite pas à effacer. Il faut peut-être garder l'idée qu'un ordinal est un ensemble bien ordonné d'éléments que l'on peut appeler ordinaux.

Pourquoi ne recopie tu pas ton § de l'article raisonnement par récurrence (pour la récurrence sur une classe ordinale), au moins comme point de départ ? Proz 30 juillet 2007 à 11:19 (CEST)

classe

L'article classe (mathématiques) existe. Au sujet des classes bien ordonnées (classes propres en fait) : il serait mieux de se restreindre à la classe des ordinaux. Toutes les classes propres bien ordonnées ne sont pas isomorphes (tu peux ajouter un ensemble "après" les ordinaux par exemple). La classe des ordinaux a pour propriété supplémentaire que la classe des éléments inférieurs à un élément donné est un ensemble. As-tu des exemples de démonstration par récurrence sur d'autres classes propres bien ordonnées que celle des ordinaux ?

Th. de définissabilité de Beth : il faudrait expliquer ce que l'on entend par définir en théorie des ensembles, ça peut se comprendre intuitivement, je ne le mettrais pas au début, il faudrait expliquer.

Définition par récurrence : on dit souvent classe fonctionnelle, tu pourrais commencer par le cas ensembliste (partie de l'article initial à réutiliser). Proz 14 août 2007 à 21:50 (CEST)

Notions préliminaires

L'organisation de l'encyclopédie ne nécessite pas ce paragraphe préliminaire que j'ai l'intention de supprimer. --Pierre de Lyon (d) 4 avril 2010 à 15:46 (CEST)

Une ou deux choses à reprendre avant peut-être (def. de von Neumann ...). Proz (d) 5 février 2012 à 01:51 (CET)

Relecture

Article encore à travailler : mieux vaudrait parler d'abord de démonstration par récurrence ensembliste d'abord. Ca manque d'exemples ... Proz (d) 5 février 2012 à 01:51 (CET)

Récurrence transfinie#Sur la classe des ordinaux

L'énoncé du théorème est bien formalisé mais il faudrait « internaliser » sa preuve en remplaçant le « si … alors … » par ⇒ (ce qui nécessite de formaliser de même l'énoncé du théorème de Récurrence transfinie#Ordinal). Anne, 16/11/16

Pourquoi faudrait-il formaliser/internaliser la preuve ? Pourquoi là d'ailleurs et pas ailleurs ? Sachant que si on commence à le faire sur wikipédia, ou ailleurs, les démonstrations vont vite devenir uniquement lisibles par des ordinateurs, comme il en est des langages machines (assembleurs, machines de Turing) comparés aux langages utilisateurs (Lisp, Prolog, C, Java). Pour simple exemple, je crois que c'est dans le inusité système des Principia Mathematica qu'une simple preuve de « 1+1=2 » fait 5 - 10 lignes très peu lisibles par un humain.

Sinon ici (avec de la déduction naturelle pour le calcul des prédicats + ZF), rien que pour internaliser la notion "être un ordinal" pour un ensemble ... ben je passe la main et je serais surpris de voir le résultat fait par quelqu'un qui relèverait le défi. C'est pas comme si c'était aussi simple que de remplacer « si p alors q » par « p --> q »( qui dit en passant, si on veut « internaliser » est différent de « p ==> q » qui est l'affirmation métalinguistique que « p --> q » est vrai valide).

Enfin ceci me semble faire sens, mais seulement dans des cadres comme le Calcul des constructions ... mais on va pas s'amuser à improviser des trucs comme ça dans des articles de wikipédia. D'ailleurs c'est interdit.

Par contre, hors wikipédia, il est possible de s'associer aux travaux de Thierry Coquand, Gérard Huet et autres, notamment dans le cadre théorique de la correspondance de Curry-Howard --Epsilon0 ε₀ 16 novembre 2016 à 23:36

Lors des remaniements de 2012 qui ont suivi tes improvisations de 2007, le § « Sur un ordinal » avait été conservé sans conviction mais rendu « lisible ». Ça m'étonnerait qu'il soit sourçable (dans les bouquins on parle soit d'un ensemble bien ordonné, soit de la classe des ordinaux) mais je l'avais rendu utile par un autre TI. Je ne proposais pas d'ajouter un TI supplémentaire, mais de mettre en cohérence ces deux-là. Finalement, pour aller dans le sens de la lisibilité que tu préconises, j'ai opté pour simplifier plutôt le style du § « Sur la classe des ordinaux ». Anne, 17/11, 8 h 06

P.S. pour "être un ordinal", je ne vois pas de quel défi tu parles (le prédicat On était déjà formalisé dans l'article sur les ordinaux, j'ai mis Krivine en source).

Concernant le P.S., en effet, contrairement à ce que j'ai dit, "être un ordinal", s'axiomatise facilement dans le calcul des prédicats avec la def : un ensemble x est un ordinal ssi 1/ l'appartenance sur x est un ordre strict qui est un bon ordre 2/ si y appartient à x, alors y est un sous ensemble de x. Je songeais, ci dessus, à des définitions par le haut de On, genre plus petite classe d'ensembles telle que ... où évidement le mot classe va poser pb. --Epsilon0 ε₀ 24 novembre 2016 à 23:18 (CET)

Transitif

Juste pour dire que la première phrase de la section "ordinal" n'a pas pour but de donner une définition d'ordinal (il y a le lien), mais de justifier l'écriture de la propriété comme cas particulier de la précédente. Maintenant s'il y a ambiguïté, ou si ça paraît utile de préciser transitif... Proz (discuter) 19 mai 2021 à 17:11 (CEST)