Discussion:Postulat de Bertrand

Énoncés différents

Dans le paragraphe énonçant le théorème, je ne comprends pas comment la deuxième forme du théorème peut être à la fois équivalente et plus faible. Quelqu'un peut-il m'éclairer? 67.70.101.45 18/11/2006, 6 h 10

Effectivement le premier énoncé, quoique juste, était bizarre car trop restrictif. Le second énoncé donnait des conditions initiales plus faibles mais une conclusion tout aussi juste. Salle vient de rectifier en ne conservant que le plus classique : le second. HB 18 novembre 2006 à 15:58

L'article ne devrait-il pas expliquer que le théorème est en fait n < p ≤ 2n-2 pour n > 3 et que n < p ≤ 2n est juste une simplification qui marche pour n > 1? Le problème est que l'article sur les nombres premiers [1] mentionne 2n-2 et cet article ne mentionne que le 2n, ce qui est plutôt troublant. --Monkeyget 17 mai 2007 à 21:17

Je ne vois pas en quoi c'est génant: les deux énoncés sont exacts. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Claudeh5 (discuter), le 11/10/2007.

L'énoncé de l'article « Nombre premier » était cependant faux (ça a été réparé depuis), autant le 17/5/7 que le 11/10/7 : « si n > 0, il existe p premier tel que n < p ≤ 2n-2 » … faux pour n = 1 et n = 2. Rectifié par Monkeyget, il devient exact mais plus fort que l'autre, et je suis d'accord que c'est gênant.

Rappelons les divers énoncés qui ont figuré dans l'article et ajoutons-y ceux de qq sources

1. ∀n > 3 ∃p premier « compris entre » n et 2n-2 (supprimé le 18/11/6, cf. supra). Ambigu mais voir n° 6 et 7.
2. ∀n ≥ 1 ∃p premier tel que n < p ≤ 2n. Équivalent au n° 4.
3. ∀n ≥ 1 ∃p premier tel que n < p < 2n (version fausse apparue à 2 reprises, le 18/8/8 et du 11/5/8 au 7/4/9)
4. ∀n ≥ 2 ∃p premier tel que n < p < 2n (version actuelle, qu'Encyclopedia of Mathematics appelle « formulation plus faible » du postulat de Bertrand)
5. ∀n > 6 ∃p premier tel que n/2 < p ≤ n-2 (conjecture initiale : Bertrand dit « supérieur à » et « compris entre » mais vu ce qu'il raconte sur la même page, c'est la seule interprétation raisonnable). Équivalente à son sous-cas n pair, donc au n° 6
6. ∀n > 3 ∃p premier tel que n < p ≤ 2n-2 (interprétation de Bertrand par Tchebichef dans sa 1^re page)
7. ∀n > 3 ∃p premier tel que n < p < 2n-2 (version plus forte démontrée par Tchebichef, cf. p. 381-382, et énoncé principal dans Encyclopedia of Mathematics)

Bilan : d'un point de vue purement logique, on peut oublier les n° 1, 2, 3 et [ou bien 5 ou bien 6 (équivalents)], et on a les implications (strictes) 7 ⇒ 6 ⇒ 4. Je pense qu'il faut au moins, comme dans Encyclopedia of Mathematics et en:Bertrand's postulate et comme proposait Monkeyget, mentionner 7 et 4. Quid du 6 (ou 5) ? (c'est quand même la conjecture originelle…). Anne, 19/8/15, 17 h 31

fait (à 19 h 18), Anne

La guerre d'édition lancée aujourd'hui 19/01/2020 montre qu'il y a en effet un problème d'interprétation sur les énoncés : il me semble qu'il est strictement équivalent de dire que

Pour tout entier $n>3$, il existe un nombre premier $p$ tel que $n<p\leq 2n-2$ et dire que Pour tout entier $n>3$, il existe un nombre premier $p$ tel que $n<p<2n-2$

et qu'il n'y a pas d'énoncé plus fort. C'est en lisant les énoncés cachés dans les notes que l'on saisit mieux les différences subtiles

si on prend l'énoncé initial de Bertrand, on a Pour tout entier $n>6$, il existe un nombre premier $p$ tel que $n/2<p\leq n-2$ et pour Tchebychev Pour tout réel $a>3,5$, il existe un nombre premier $p$ tel que $a<p<2a-2$.Pour n=9 (Bertrand) et a=4,5 (Tchebychev), Bertrand se satisfait de 7 qui est bien compris entre n/2 et n-2 (au sens large) alors que Tchebychev doit prouver l'existence d'un autre nombre premier strictement compris entre a et 2a-2. Pourquoi ne pas donner les versions des notes si on veut comparer les forces respectives? HB (discuter) 19 janvier 2020 à 17:13 (CET)

Désolé je suis intervenu sans avoir vu ce message. Oui j'en étais arrivé à la même conclusion. Je ne suis pas sûr que ce soit très intéressant de discuter ce genre de détails dans l'article, mais la formulation avec les inégalités strictes serait fausse pour 3,5 (d'où je suppose l'inégalité interprétée comme large pour l'énoncé original de Bertrand, qui revient à avoir des "demi-entiers". Je n'ai pas vu pourquoi le a de l'énoncé de Tchebychev est réel.Proz (discuter) 19 janvier 2020 à 17:39 (CET)

Peut-être parce qu'il ne se sert pas du fait que a soit entier dans sa dem ?... Mais je crois bien qu'il le pensait entier quand il trouve une valeur limite entre 159 et 160 et qu'il dit que l'on prendra a = 160 (en fait il démontre le théorème pour a supérieur ou égal à 160) et dit que pour le reste du postulat il suffit de le vérifier à la main...). Pour a réel, je me suis fiée à la note sur Lucas, mais en lisant la source, je ne vois aucune précision sur a réel dans le texte de Lucas, sauf la condition 2a > 7 mise à la place de n > 3. A ne pas signaler amha d'autant plus que a réel ou a entier, c'est équivalent (vrai pour tout a réel > 3.5 => vrai pour tout n entier > 3, et vrai pour tout n entier > 3 => vrai pour E(a) => vrai pour a à partir de 4 - pour a strictement compris entre 3.5 et 4, p vaut 5) Anne ? HB (discuter) 19 janvier 2020 à 19:01 (CET)

Oui, en fait forcément a est entier dans l'article de Tchebychev (sinon il aurait une autre condition). Proz (discuter) 19 janvier 2020 à 20:07 (CET)

Désolée je suis moi aussi intervenue dans l'article sans avoir vu ces échanges. Aucune subtilité de ma part, et aucune hypothèse que a fût réel pour Tchebychev : je n'avais tout bêtement pas vu l'équivalence signalée dans l'article par 93.26.137.168 et S.RCHX puis ci-dessus par HB. Pour Lucas, c'est vrai qu'il ne précise pas "a réel" mais sinon, pourquoi écrirait-il 2a > 7 ? Mais je suis d'accord de bout en bout avec le dernier message ci-dessus de HB. Anne, 20 h 28

Lien avec la conjecture de Legendre

La dernière ligne portant sur la conjoncture non démontrée (pour tout n il existe un premier p tel que n² < p < (n+1)² ) me sembe bizarre... en effet, si il est démontré que pour tout n >2, il existe un premier p tel que n < p <= 2n, alors il me semble que pour tout n on a (n+1)² > 2n. Il suffit donc de dire "quel que soit n, il existe un entier p tel que n² < p < 2n² < (n+1)² et la démonstration est faite ? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Gamadil (discuter), le 17/4/2007.

Non ! On trouve $n^{2}<p<n^{2}+2n+1$ donc cela signifie que $p_{n+1}-p_{n}\leq 4{\sqrt {p_{n}}}+4$ en prenant $n=[{\sqrt {p_{n}}}]$. On est donc dans une quasi-conséquence de l'hypothèse de Riemann !Claudeh5 19 septembre 2007 à 16:44

Inégalité de Bienaymé-Tchebyschev

Bonjour, Pourrait-on, avant d'écrire un article, vérifier ses dires ? Il est tout de même navrant de trouver que le postulat de Bertrand fut démontré par Tchebyschev en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebyschev qui concerne exclusivement le calcul des probabilités ! Claudeh5 19 septembre 2007 à 16:29

Refs pour l'appellation

(mais avec une typo différente). Les 2 premières sont Bertrand's postulate and Chebyshev's theorem et — plus satisfaisant — Chebyshev's Theorem(s). Anne 11/1/15

Merci Anne pour la recherche de références. Mais je ne suis toujours pas convaincu que le Postulat de Bertrand soit "aussi appelé théorème de Tchebychev", comme le prétend l'article. Karatsuba rappelle bien que le Postulat de Bertrand a été démontré par Tchebychev, mais ne l'appelle pas pour autant "Théorème de Tchebychev", terme qu'il utilise pour désigner le résultat plus fort que Tchebychev a montré et dont le postulat suit. Quant à M. Weisstein, qui n'est pas mathématicien et coutumier de formulations imprécises, je me méfie beaucoup de ses affirmations. Et en effet, quoiqu'il affirme que le Postulat de Bertrand est connu comme un des "théorème de Tchebychev", la seule référence qu'il donne pour appuyer ses dires est le Hardy and Wright, dans lequel le postulat de Bertrand est exclusivement appelé… Postulat de Bertrand! (Théorème 418). Le seul théorème que Hardy et Wright appellent "théorème de Tchebychev" est l'autre résultat, donnant l'ordre de grandeur exact de pi(x). Sapphorain (discuter) 11 janvier 2015 à 17:03 (CET)

A partir du moment où une encyclopédie (quoi qu'on pense de son auteur) l'appelle théorème de Tchebychev, il est bon de signaler cette appellation. Cela évidemment sans changer le titre de l'article qui doit bien sûr continuer, je pense, à s'appeler postulat de Bertrand. Pour appuyer le fait fait que ce postulat est parfois appelé Théorème de Tchebychev, j'en appelle à Paul Erdös (qui lui, pour le coup est mathématicien) et son article Beweis eines Satzes von Tschebischef (preuve d'un théorème de Tschebischef) qui parle bien du théorème sujet de cet article « laut dessen es zwischen einer natürlichen Zahl und ihrer zweifachen stets wenigstens eine Primzahl gibt » (traduction libre : selon lequel entre un entier naturel et son double il existe au moins un nombre premier) . HB (discuter) 11 janvier 2015 à 18:55 (CET)

Là, je suis parfaitement d'accord, et merci pour la référence qui est tout à fait acceptable. Mais je ne suis pas d'accord qu'on adopte pour principe qu'une encyclopédie, quelle qu'elle soit, mérite qu'on la cite, et ceci même si les sources qu'elle invoque ne contiennent pas les informations qu'elle donne. Encore une fois, M. Weisstein est coutumier des affirmations imprécises, erronées ou non sourcées, particulièrement en ce qui concerne l'histoire des maths. Les informations qu'il donne doivent être prises avec des pincettes, et il faudrait autant que possible se passer dans wikipédia de son blog (qu'il a malheureusement apparemment publié sur papier maintenant). Sapphorain (discuter) 11 janvier 2015 à 19:26 (CET)

démonstration et utilité du Postulat

Bonjour,

D'après le théorème fondamental des nombres premiers, la quantité de premiers inférieurs à n est environ Pi(n) = n / ln(n).

Donc :

- la quantité de premiers inférieurs à n est environ : Pi(n) = n / ln(n).

- la quantité de premiers inférieurs à 2.n est environ : Pi(2.n) = 2.n / ln(2.n).

- et la quantité de premiers compris entre n et 2.n est donc environ Pi(2.n) - Pi(n) = 2.n / ln(2.n) - n / ln (n) = n[2 / ln(2.n) - 1 / ln (n)], c'est à dire une quantité supérieure à l'unité et qui croît avec n.

Ceci étant je m'interroge sur l'utilité réelle du Postulat de Bertrand car les seuls cas où entre n et 2.n il n'existe qu'un seul nombre premier n'apparaissent que pour n < 6 en excluant n = 4 car entre 4 et 8 on a le 3 et le 7 qui sont premiers.

(par utilité "réelle" j'entends utilité "théorique ou pratique" et non utilité "historique").

A+. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 82.67.36.31 (discuter), le 22 août 2015 à 10:22

Concernant la démonstration. Plusieurs remarques : le théorème des nombres premiers est établi bien après la démonstration du postulat de Bertrand. D'autre, il ne faut pas confondre une équivalence et une égalité. Le fait que π(n) est équivalent n/ln(n) ne signifie pas que π(n) tend vers n/ln(n) et les deux nombres peuvent être très éloignés l'un de l'autre, remplacer π(2n) - π(n) par 2n/ln(2n) - n/ln(n) ne peut se faire qu'en maitrisant l'erreur commise par ce remplacement.

Concernant l'utilité du postulat. Quand Bertrand l'énonce c'est que justement il a besoin du résultat pour une autre démonstration. Je pense que cet article de Berdellès et Verdier : Variations autour du postulat de Bertrand vaut la peine d'être lu et de figurer en source. On y lit en particulier que la démonstration du théorème de Bertrand par Tchebichef est la simple conséquence d'une tentative de Tchebichef pour démontrer le théorème des nombres premiers. HB (discuter) 22 août 2015 à 12:02

Bonjour,

Mille fois merci pour votre réponse, d'autant plus que je ne m'attendais pas à ce que quelqu'un consulte aussi vite cette discussion

OK, je note que Bertrand ne pouvait pas s'appuyer sur un théorème qui n'en était pas encore un à son époque et que son postulat pouvait donc lui être utile.

OK, pour ne pas confondre équivalence et égalité. En fait π(n) est compris entre c1.n/ln(n) et c2.n/ln(n) avec c1 = 0,95695 et c2 = 1,04423 si x est suffisamment grand, d'après Sylvester (1982) ... et la moyenne de c1,c2 vaut 1,00059 si on se contente d'une valeur approchée.

L'article "Variations autour du postulat de Bertrand" vaut effectivement la peine d'être lu.

A+. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 82.67.36.31 (discuter), le 23 août 2015 à 11:24‎.

lemme non evident

Bonjour, pouvez vous expliquer dans la démonstration pourquoi ${2n \choose n}$ est le plus grand terme ? Cela ne me semble pas trivial.. faut-il calculer la dérivée ? Salutations

$X={\frac {N \choose p}{N \choose p-1}}={\frac {N+1}{p}}-1.$ Donc $X>1$ est équivalent à $p<{\frac {N+1}{2}}$. C’est ce qu’on constate sur chaque ligne du triangle de Pascal. Le lemme utilise cette inégalité pour N pair=2n. Sur chaque ligne, les coefficients sont d'abord croissants jusqu'au milieu de la ligne, puis décroissants (c'est normal puisque chaque ligne est symétrique). Voici les premières lignes (en complétant par les signes < > = pour illustrer) :

• N=2 : 1 < 2 > 1
• N=3 : 1 < 3 = 3 > 1
• N=4 : 1 < 4 < 6 > 4 > 1
• etc.

Attention : la dérivée n’a pas de sens avec les entiers.

Fabrice Dury (discuter) 24 août 2018 à 22:16 (CEST)

merci.