Discussion:Ouvert (topologie)

Février 2005

l'article est en cours d'édition. Les parties sur les ouverts dans un espace euclidien et dans un espace métrique sont à créer (voir open set dans wikipedia anglophone). Yukito 28 fev 2005 à 11:57 (CET)

Doute

ne serais-ce pas plutot N(x-a)<r ?

C'est pareil non ? Une norme est toujours telles que N(x)=N(-x), puisqu'elle est définie pala racine du produit scalaire x | x

Doute 2

Dans le cas des espaces métriques, le dernier exemple me paraît confus. Par exemple, $]2,3[\cup ]5,9[$ est ouvert sans pour autant être un intervalle au sens de la définition donnée dans l article Intervalle (mathématiques), et ce serait apparemment le cas de toute union d'intervalles ouverts disjoints.

Ouvert/espace topologique

Bonjour je pense que cet article nécessite une refonte assez profonde. En effet, le cadre des espaces topologique est trop général pour un article sur les ouverts : dans ce cadre, "ouvert" ne veut rien dire : l'ensemble des parties d'un ensemble munit celui ci d'une structure d'espace topo. Donc soit on dit : un ouvert c'est une partie d'un espace topologique qui est élément de sa topologie, ce qui me semble pas intéressant, autant rediriger vers espace topologique, soit on définit ce qu'est un ouvert d'un espace métrique, d'un espace vect normé, et des puissances de R : en particulier un ouvert de \R est une réunion disjointe dénombrable d'intervalles ouverts, théorème de whitney si je ne m'abuse. bisous je vais essayer de faire ça

Intuition

Il est difficile de donner une notion intuitive d'une notion complexe mais il me semble que là, trop d'erreurs sont énoncées

• se déplacer "dans toutes les directions" et rencontrer des points de l'ensemble ne suffit pas à définir un ouvert comme le montrer l'exemple des rationnels compris entre 0 et 1. Il faudrait pouvoir dire, on peut se déplacer "dans toutes les directions" et ne rencontrer que des points de l'ensemble. Mais je préfère parler d'un intervalle autour de a ou d'un disque autour de a et d'une boule autour de a entièrement incluse dans l'ensemble.
• Contrairement aux portes (qui sont ouvertes ou fermées) les ensembles peuvent être ni ouverts ni fermés ou bien même (ce qu'on est tordu) ouvert et fermé à la fois.

Je tente une réécriture mais l'exercice est difficile. HB (d) 17 décembre 2008 à 16:35 (CET)

Sur le plan

Je suis pour ma part presque convaincue que cet article devrait être un article court renvoyant sur topologie. mais si on doit développer l'article, il serait bon de passer de la définition la plus simple à la plus compliquée et donc de terminer sur la définition d'une topologie avec dans l'ordre

• l'idée intuitive
• les intervalles ouverts de R
• les ouverts de R,
• les ouverts dans un espace métrique et de terminer par la topologie.

HB (d) 17 décembre 2008 à 17:49 (CET)

Demande de référence

J'aimerai des références sur le fait que, dans R les ouverts sont toujours réunion au plus dénombrable d'intervalle ouverts disjoints. Réunion quelconque d'intervalles ouverts (sans problème) mais passer au dénombrable ne me parait pas évident. Donc ... je doute (à moins qu'il n'y ait du compact par là...). HB (d) 17 décembre 2008 à 17:53 (CET)

Pas de compacité, mais... de la dénombrabilité au sens topologique ! Tout intervalle ouvert contient au moins un rationnel, donc l'ensemble des intervalles qui composent un ouvert est au plus dénombrable. Ambigraphe, le 18 décembre 2008 à 14:36 (CET)

Merci - Etat grippal - Cerveau embrumé. HB (d) 18 décembre 2008 à 15:18 (CET)

La réponse d'Ambigraphe ne me convainc pas tout à fait. Soit un ouvert $A$. Ce qui est montré est que **si $A$ est union d'intervalles disjoints**, alors cette union est au plus dénombrable.

Voici 3 références qui démontrent ce résultat qui n'est pas complètement trivial:

- http://allced.free.fr/topo.pdf

- http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00037.pdf

- https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.maurey/agreg/ag001/ag001_S.pdf

Laurent.Claessens (discuter) 29 février 2020 à 07:51 (CET)

Renommage

L'expression « Ensemble ouvert » est présente dans la littérature mais est source d'erreurs fréquentes : le fait d'être ouvert n'est pas une qualité intrinsèque d'un ensemble, elle est relative à un sur-ensemble (muni d'une topologie). Il vaudrait mieux à mon avis développer un article « Ouvert (topologie) » ou « Partie ouverte » si l'on n'aime pas l'usage d'adjectifs substantivés. Ambigraphe, le 18 décembre 2008 à 14:44 (CET)

Le meilleur titre serait Ouvert (topologie) qui était le titre initial avant que 16@r (d · c · b) ne décide un renommage (je trouve souvent ses renommages contestables). HB (d) 18 décembre 2008 à 15:25 (CET)

Je suis favorable au renommage en Ouvert (topologie). Valvino ^(discuter) 18 décembre 2008 à 15:37 (CET)

On n'a qu'à voter. :D Noky (d) 18 décembre 2008 à 16:34 (CET)

Zéros de l'ensemble vide

Je trouve que c'est tirer sur les cheveux que de dire que R^n=Z(\emptyset). C'est juste une coquetterie de matheux qui n'apporte rien de plus puisque Z({0})=R^n suffit pour dire que R^n est ouvert pour la topologie de Zariski. Liu (d) 21 novembre 2009 à 21:43 (CET)

Je trouve que c'est pinailler que de préférer dire que Z({0})=R^n. C'est juste un autre exemple qui n'apporte rien de plus puisque R^n=Z(\emptyset) suffit pour dire que R^n est ouvert pour la topologie de Zariski.

Cela peut servir à la rigueur si on suppose dans la définition que l'ensemble E de polynômes est non vide, ce qui est inutile.

Tout cela n'est qu'une question de goût ou de logique. --Cbigorgne (d) 21 novembre 2009 à 22:44 (CET)

Joli petit échange de spécialiste . Permettez à une pédagogue (?) qui découvre cette topologie (on peut être pédagogue (?) et ignorante en topologie algébrique) de donner son point de vue. On a toujours intérêt à présenter la version la plus simple quand on expose une idée et les propriétés de l'ensemble vide sont toujours perturbantes pour le lecteur néophyte. Donc je préfère la version Z({0}}. Je la préfère d'autant plus que je connais les confusions nombreuses qui existent dans l'esprit des lecteurs sur {0}, {\emptyset}, \emptyset et { }.HB (d) 22 novembre 2009 à 09:22 (CET)

Bonjour, je suis d'accord que la version Z({0}) est un peu plus naturelle, mais la définition est valide pour tous les ensembles de polynômes, donc je propose de mettre en remarque ce cas particulier.--Cbigorgne (d) 22 novembre 2009 à 09:57 (CET)

Oui, il faut considérer Z(\emptyset) qui est utile pour la cohérence des Z(E) entre autres. Je trouve la version actuelle très bien. Liu (d) 22 novembre 2009 à 19:34 (CET)

Autres remarques

Merci à Cbigorgne d'avoir ordonné et clarifié l'article. Il reste quelques points à débattre

Renommage

Que pensez-vous d'un renommage en ouvert (topologie). HB (d) 22 novembre 2009 à 09:22 (CET)

C'est déjà fait (une redirection vers ouvert (topologie)). Liu (d) 22 novembre 2009 à 19:37 (CET)

Tu veux dire qu'il y a une redirection à inverser ? Je suis bien d'accord. On peut parler de partie ouverte ou de sous-ensemble ouvert, mais il est absurde de parler d'ensemble ouvert. Ambigraphe, le 22 novembre 2009 à 23:46 (CET)

Je ne connais pas les subtilités de redirection => ou <=, ou le renommage (on supprime l'article ou on en crée un autre?). Mais je suis entièrement d'accord que les termes corrects sont ce que tu dis. Liu (d) 23 novembre 2009 à 01:06 (CET)

Espace euclidien et point intérieur

J'ai du mal avec cette section qui vient après le cas métrique. Je ne comprends pas non plus pourquoi la notion se limite aux espaces euclidiens et n'inclut pas les espaces métriques, il me semble que ces deux notions pourraient fusionner en espace métrique et point intérieur. HB (d) 22 novembre 2009 à 09:22 (CET)

Je suis du même avis. Ou bien on ne traite que des espaces métriques, ou bien que des espaces euclidiens (oui effraient peut-être moins les néophytes). Liu (d) 22 novembre 2009 à 19:37 (CET)

Fonction continue

Il me semble que leur place ne devrait pas être dans la première section qui semble faire l'inventaire des types d'ouvert mais dans une seconde section. A moins que la définition ne soit donnée que pour présenter les ouverts dans un ev sur un corps topologique K ? Dans ce cas, il me parait préférable de fusionner les deux sections. HB (d) 22 novembre 2009 à 09:22 (CET)

Bonjour, à l'origine les fonctions continues étaient définies après les exemples d'ouverts et de topologies. J'avais déplacé la section pour permettre la définition de la topologie des ev topologiques de dimension finie.

Je pense qu'il serait plus simple de supprimer cet exemple qui est peu détaillé et est tel-quel peu compréhensible.

Le paragraphe fonctions continues serait dans une autre section.--Cbigorgne (d) 22 novembre 2009 à 10:08 (CET)

Version du 25 aout

Je suis déçue de la version du 25 aout qui fait disparaitre tout aspect didactique au sujet : si l'ouvert est seulement un élément d'un espace topologique, il est inutile de créer un article spécifique. La version du 4 juin avait le mérite de tenter de présenter l'ouvert de manière progressive avec une version intuitive sur la notion d'ensemble ouvert dans R. Je serais favorable à un retour en arrière mais attends d'autres avis. HB (d) 28 octobre 2010 à 21:14 (CEST)

Je suis d'accord. Il y a peut-être (?) eu des ajouts intéressants en même temps, mais ce gros chamboulement du plan détruit l'intérêt d'un article spécifique. Anne Bauval (d) 28 octobre 2010 à 22:43 (CEST)

Un an plus tard je reviens sur cet article et persiste dans mon idée qu'il est moins bon que la version d'avant le 25 aout. Le plan actuel n'est pas bien structuré

• certaines sections de niveau 1 ne contiennent que deux lignes
• l'exposé intuitif est mis à la fin de l'article après l'exposé sur les ouverts de Zarzinski et l'allusion à la topologie de Grothendieck (sic!)
• les topologies pathologiques sont présentées en premier alors que ce ne sont pas les plus naturelles, ni les premières rencontrées
• je ne vois aucune différence fondamentale entre la définition des ouverts dans un espace métrique et dans un espace euclidien

C'est donc le contraire d'un article progressif. Je propose donc un autre plan qui est un compromis par rapport à la version d'avant le 25 aout puisque je commence par la définition générale, peu compréhensible cependant pour ceux qui ne sont pas en licence de math

1. Définition générale
2. Exemples
   1. Approche intuitive dans la droite et le plan
   2. Ouverts dans un espace métrique (avec complément sur la notion de point intérieur)
   3. Ouverts dans un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K muni d'une topologie
   4. Topologie ouverte et topologie grossière
   5. Ouverts de Zariski
3. Propriétés et notions connexes
   1. Intersections d'ouverts
   2. Ouverts et continuité
   3. Définitions associées (fermé - intérieur - voisinage - connexité - densité ajout)
   4. Ouverts et topologie

Ceci est une modification du plan mais pratiquement pas du contenu. Des avis?. HB (d) 4 novembre 2011 à 10:27 (CET)

Pour D'accord avec ce plan, en reprenant et complétant les développements de la version du début 2010.--Cbigorgne (d) 4 novembre 2011 à 18:04 (CET)

Pour aussi. Et si on profitait de cette occasion pour (en renvoyant vers des articles plus pointus) réduire la partie « Ouverts de Zariski » ? C'est dans cet esprit que je viens de faire cet ajout dans Espace topologique. Anne Bauval (d) 4 novembre 2011 à 19:33 (CET)

D'accord aussi pour réduire la part de Zariski dans le style de ce que tu as fait dans topologie. Je m'y mets. HB (d) 5 novembre 2011 à 07:48 (CET)

Première étape effectuée...j'ai honteusement repompé ton résumé sur Zariski tout en me demandant si ces ouverts là avaient leurs place dans cet article là.... Il reste encore à vérifier si rien a été perdu par rapport à l'article de début 2010. Je pense que la densité a sa place ainsi qu'une remarque sur le caractère non intrinsèque de qualificatif ouvert. Je m'y mettrais un peu plus tard. Ah, quelqu'un sait-il pourquoi on a appelé un ouvert « ouvert »? Je pense que cela doit figurer en bonne place dans l'article. HB (d) 5 novembre 2011 à 10:06 (CET)

Commentaires

Je me réjouis du travail effectué sur cet article et j'en profite pour discuter certains points d'introduction et de plan.

• La dénomination « ensemble ouvert », même si elle est effectivement référencée, est pernicieuse car elle tend à faire croire que la propriété d'être ouvert est inhérente à un ensemble alors qu'elle n'a de sens que pour une partie d'un espace topologique. Si l'on tient à faire apparaitre cette formulation, il faut impérativement l'assortir de cette remarque.
• Le plan commence malheureusement par une définition formelle inutile pour ceux qui la connaissent et illisible pour ceux qui ne la connaissent pas. Il vaudrait mieux traiter d'abord les intervalles ouverts et poser le problème de la définition du bord pour une partie du plan ou de l'espace, avec l'exemple fondamental du disque ou de la boule (approche référencée par exemple dans le Dictionnaire de mathématiques élémentaires de Stella Baruk). Puis on peut définir un ouvert dans un espace métrique tel que le plan ou l'espace, montrer que cette définition est satisfaisante sur les objets précédemment cités et rajouter les propriétés qui définissent une topologie. Enfin, il sera temps d'évoquer quelques notions de topologie et de citer quelques théorèmes d'analyse qui reposent sur l'utilisation d'un domaine ouvert, notamment le théorème de l'application ouverte.
• Les topologies des espaces vectoriels, grossière ou de Zariski me semblent hors sujet ici.

Ambigraphe, le 5 novembre 2011 à 16:13 (CET)

Je pense que ce serait dommage de se cantonner à R^3. Il faut montrer la topologie dans ses diversités et la transversalité comme dit dans l'introduction. Il faudrait aussi ajouter les ouverts de l'anneau des entiers p-adiques. Par contre, concernant la dernière section sur les travaux d'Antoine Appert, je me demande si ces travaux ont une postérité correcte. Liu (d) 5 novembre 2011 à 16:31 (CET)

Concernant ton premier point : ne pas hésiter à employer le terme d'ensemble ouvert mais préciser effectivement (par exemple dans propriété) qu'un ensemble n'est ouvert qu'en tant que partie d'un ensemble muni d'une topologie

Concernant le plan : comme dit plus haut, la définition formelle en tête d'article est un compromis. Je pense que c'est le fait qu'elle ne soit pas en tête qui a motivé la refonte du 25 aout. Pour ne pas tourner en rond, j'ai préféré la donner sachant que le néophyte peut sauter pour lire l'approche intuitive. Maintenant tu proposes là une refonte plus profonde que je n'ai pas le cœur d'entreprendre sachant que peu ou prou, dans un ordre différent presque tous les points que tu cites sont abordés mais si cela te tente pourquoi pas

Concernant les exemples d'ouverts originaux:je ne suis pas d'accord avec toi pour les supprimer. Montrer que la définition donnée permet de définir comme ouvert des objets qui ne le sont pas intuitivement (topologie discrète et grossière au moins) c'est fondamental (voir proposition plus bas) tant que cela reste abordable (Ziriski surtout version spectrale c'est un peu hard quand même). HB (d) 5 novembre 2011 à 17:38 (CET)

(Après une nuit de réflexion) . Tes observations m'inspirent un plan probablement meilleur que celui présent:

1. Approche intuitive (ouvert de R, R² et espace métrique)
2. Définition générale
3. Propriétés et notions connexes
4. Exemples d'ouverts dans des topologies non euclidiennes.

Ce plan à l'avantage de respecter aussi l'approche historique (selon Bourbaki, les notions de fermé et d'ouvert sont introduites par Cantor qui travaille d'abord sur R avec une topologie basée sur une base de voisinage ]r-e, r+e[), de mettre la définition pas trop tard et de mettre les exemples plus tordus en fin d'article quand les notions de fermés, et de continuité ont été présentées. HB (d) 6 novembre 2011 à 09:36 (CET)

Merci pour vos réponses et pardon pour ma formulation maladroite : il n'est pas question de se cantonner à R^3, je voulais dire que la définition d'ouvert dans un espace métrique en toute généralité est aussi simple que celle qu'on peut donner dans le plan ou l'espace.

Je ne souhaite pas non plus supprimer les « exemples d'ouverts originaux », mais à part dans le cas de la topologie discrète il n'y en a aucun dans l'article.

Enfin, je maintiens que la définition générale d'une topologie ne mérite pas une partie du présent article. On ne définit pas un ouvert comme élément d'une topologie : on définit une topologie comme ensemble des ouverts. Ne mettons pas la charrue avant les bœufs. Ambigraphe, le 6 novembre 2011 à 16:10 (CET)

Ouverts dans Z

J'ai trouvé dans Raisonnements divins, (6 façons de démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini) des ouverts dans Z qui me semblent originaux : si a et b sont deux entiers relatifs, b >0. On appelle N(a,b) l'ensemble des entiers congrue à a modulo b. Une partie U de Z est ouverte si et seulement si, pour tout a de U, il existe b>0 tel que N(a,b) soit inclus dans U. On peut démontrer que N(a,b) est à la fois une partie ouverte et fermée pour cette topologie. Deux questions : 1) cette topologie a-t-elle un nom ? 2) est-il judicieux de mettre cet exemple d'ouvert dans l'article ?HB (d) 5 novembre 2011 à 17:33 (CET)

C'est presque la topologie adélique à part la condition a, b premiers entre eux (que je ne comprends pas bien), et que la topologie usuelle de R n'est pas prie en compte. La topologie p-adique est plus facile à présenter et à comprendre que celle-ci, et surtout elle est abondamment utilisée. Comme la topologie de Zariski d'ailleurs. Liu (d) 5 novembre 2011 à 21:43 (CET)

Euh, je ne comprends pas bien l'article anneau adélique et donc je ne comprends pas bien le rapprochement que tu fais entre les deux topologies. Je ne comprends pas bien le coup des entiers premiers entre eux dont je ne trouve trace ni dans mes propos ni dans l'article anneau adélique. Mais j'ai compris l'essentiel: exemple extrêmement marginal et exotique, préférer d'autres exemples. Ok. HB (d) 5 novembre 2011 à 23:29 (CET)

Si on laisse tomber le coup de a, b premiers entre eux, on regarde les voisinages ouverts de 0. Un système fondamental de voisinages de 0 est alors constitué des ensembles de la forme bZ, b entiers non nuls. Le complété de Z pour cette topologie est la limite projective des Z/bZ, notée ${\hat {\mathbb {Z} }}$ dans l'article sur l'anneau adélique. L'idée des adèles est qu'on considère sur Q à la fois la topologie réelle et toutes les topologies p-adiques. Elle a été inventée par André Weil et est un outil très important en théorie des nombres. Le programme de Langlands concerne des représentations de GL_n(adèles de Q). J'espère que cela contribue à dissiper un peu les brouillards :) Liu (d) 6 novembre 2011 à 02:07 (CET)

Attention, des ouverts dans Z n'ont rien d'originaux : toute partie est ouverte dans Z discret. Ne cherchez pas à tout prix à discuter de topologies exotiques dans un article qui a trait aux ouverts. Ambigraphe, le 6 novembre 2011 à 16:10 (CET)

Les topologies en question ne sont pas discrètes et je ne pense pas que la topologie p-adique soit exotique. Elle n'est certes pas enseignée en licence, mais elle est couramment utilisée en théorie des nombres et abondamment documentée. Liu (d) 6 novembre 2011 à 23:16 (CET)

On s'est mal compris. Cet article a pour sujet la notion d'ouvert. Les exemples donnés permettront au lecteur de se faire une idée aussi complète que possible de cette notion. La topologie p-adique sur Q permet de définir des ouverts autrement qu'avec la distance usuelle et constitue donc un bon exemple. Mais sa définition sur les entiers p-adiques n'est pas éclairante puisqu'elle porte sur des objets qui ne sont pas familiers au lecteur lambda, en tout cas ne permet pas de comparaison.

Quant à la topologie de Zariski, je suppose que tu la connais aussi bien que moi et tu sais qu'elle est moins fine que la topologie de l'espace vectoriel réel. Définir les ouverts de Zariski n'apporte rien à la notion d'ouvert. Ambigraphe, le 7 novembre 2011 à 08:28 (CET)

Je viens de tomber sur la démonstration de Fürstenberg de l'infinité des nombres premiers dont parlait HB, article quasi-orphelin : on pourrait le mettre dans les articles connexes de Topologie ? Anne Bauval (d) 25 novembre 2011 à 21:36 (CET)

Généralisation

Je n'ai pas réussi à trouver de traces de travaux faisant suite au concept introduit par Antoine Appert (Sur le meilleur terme primitif en topologie ...). Je me propose de supprimer cette section. Liu (d) 6 novembre 2011 à 02:14 (CET)

Je trouvais cet aspect intéressant et il est incontestablement référencé. J'aimerais garder cette référence au moins en note. Ambigraphe, le 6 novembre 2011 à 16:10 (CET)

J'avoue ne pas comprendre la présentation de ces travaux. Etre ouvert n'est pas une propriété intrinsèque, c'est évident et n'a rien à voir avec l'approche d'Appert. Par ailleurs je ne vois pas à quoi fait allusion la phrase sur la théorie des ensembles. Parle-t-on des espaces topologiques sans point ? Sur l'article d'Appert, le commentaire de Choquet est qu'il peut présenter un intérêt historique car Appert était un disciple de Fréchet. Liu (d) 6 novembre 2011 à 23:10 (CET)

Petit doute sur l'intro

L'intro nous dit que un ouvert "est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière". Mais un espace vectoriel $E$ et l'ensemble vide ∅ sont des ouverts mais contiennent a priori leurs points limites non ? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 86.195.44.209 (discuter), le 27 mars 2012 à 19:23‎.

Oui, ∅ et E (espace topologique, pas forcément vectoriel) contiennent leurs points limites donc sont fermés dans E. Mais leur frontière est vide donc ils sont aussi ouverts dans E. Anne (d) 27 mars 2012 à 23:32 (CEST)

En effet, j'ai réfléchi de façon intuitive sans chercher leurs frontières, qui sont bien vides... Merci pour ta réponse rapide --Tcherki (d) 28 mars 2012 à 19:35 (CEST)

Pourquoi l'ouvert est l'élément de base d'un espace topologique ?

Il serait bon d'expliquer pour quelle raison(s), l'ouvert joue ce rôle central dans la topologie. Qu'est-ce que ça apporte au point de vue de la construction de la théorie, que ça soit des ouverts plutôt que les fermés, par exemple. -- Camion (discuter) 27 septembre 2017 à 09:25 (CEST)

Une nouvelle proposition pour l'introduction -- A vrai dire tout le reste devrait être transféré hors de l'article

Introduction

La notion d'ouvert en mathématiques est une notion abstraite qui s'est construite par généralisations successives à partir de notions intuitives: Les intervalles ouverts de $R$ les boules ouvertes de $C$, les boules ouvertes de $R^n$

Intervalles ouverts de $\mathbb{R}$

Un intervalle ouvert $I$ de $\mathbb{R}$ est l'ensemble des réels strictement compris entre deux bornes. Ainsi, pour $a \leqslant b$ réels, les $]-\infinity, b[$, $]a,b[$, $]b,\infinity[$ sont des intervalles ouverts et ce sont les seuls possibles. En particulier $\mathbb{R}$ et $\emptyset$ sont des intervalles ouverts.

Le mot important est "strictement". L'adjectif "ouvert" se rapporte au fait que les bornes ne sont pas dans $I$. Tout ce qui suit va tenter de généraliser cette idée intuitive que "les bornes ne sont pas dedans".

NB: Là, je mettrais, si je savais le faire, une figure montrant un intervalle ouvert sur une droite avec un dessin bien explicite montrant que les extrémités ne sont pas dedans.

Ouverts de $R$

Un ouvert (on dit aussi une partie ouverte) $\mathcal{O}$ de $\mathbb{R}$ est une réunion quelconque d'intervalles ouverts. Un élément $x_0$ d'un ouvert $\mathcal{O}$ (on dit un point de l'ouvert) est donc tel qu'il existe au moins un $\varepsilon >0$ tel que tout l'intervalle $]x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon[ est dans $\mathcal{O}$. Il existe alors une infinité de tels $\varepsilon$

NB: Là, je mettrais, si je savais le faire, une figure montrant la réunion des ]\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}, \frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}[ Boules ouvertes de $\mathbb{C}$

Une boule ouverte de centre $z_0 \in \mathbb{C}$ et de rayon $r \geqslant 0$ est l'ensemble des nombre complexes (on dit points) $z$ tels que $|z-z_0| < r$. On la note $\mathcal{B}(z_0,r)$

Le point important est le signe $<$. Une boule ouverte se dessine comme un disque de centre $z_0$, le cercle frontière étant exclus.

NB: Là, je mettrais si je savais le faire une figure montrant un disque (en rouge) avec le bord en bleu.

Ouverts de $\mathbb{C}$ Un ouvert (on dit aussi partie ouverte) de $\mathbb{C}$ est une réunion quelconque de boules ouvertes. Un élément $z_0$ d'un ouvert $\mathcal{O}$ (on dit un point de l'ouvert) est donc tel qu'il existe au moins un $\varepsilon >0$ tel que toute la boule $\mathcal{B}(z_0,r)$ est dans $\mathcal{O}$. Il existe alors une infinité de tels $\varepsilon$

NB: Là, je mettrais, si je savais le faire, une figure montrant en rouge la réunion des boules de centre $n$ et de rayon $1/n$ avec le bord en bleu (non compris) mais ça devient assez coton a cause des arcs de cercle :)

Boules ouvertes de $\mathbb{R^n}$

$\mathbb{R}^n est muni d'une norme et l'on écrit $||x||$ la norme de $x$. Une boule ouverte de centre $x_0 \in \mathbb{R}^n$ et de rayon $r \geqslant 0$ est l'ensemble des vecteurs (on dit points) $x$ tels que $|x-x_0| < r$. On la note $\mathcal{B}(x_0,r)$

Le point important est le signe $<$. Une boule ouverte se dessine comme une "sphère" de centre $z_0$, la surface de la sphère étant exclue.

NB: Là, j'aimerais bien faire une figure, mais je ne sais pas trop comment la faire.

Ouverts de $\mathbb{R^n}$

Un ouvert (on dit aussi partie ouverte) de $\mathbb{R}^n$ est une réunion quelconque de boules ouvertes. Un élément $x_0$ d'un ouvert $\mathcal{O}$ (on dit un point de l'ouvert) est donc tel qu'il existe au moins un $\varepsilon >0$ tel que toute la boule $\mathcal{B}(x_0,r)$ est dans $\mathcal{O}$. Il existe alors une infinité de tels $\varepsilon$

Dans chacun des cas ci-dessus, on a défini un ensemble d'ouverts. On dit que $\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{R}^n$ ont été munis d'une topologie.

Ouverts d'une partie $A$ de $E$

Soit $E$ un ensemble muni d'une topologie comme ci-dessus et $A$ une partie quelconque de $E$. On dit qu'une partie $O$ de $A$ est un ouvert de $A$ (on dit aussi que cette partie est ouverte dans $A$) si et seulement si il existe un ouvert $\mathcal{O}$ de $E$ tel que $O=A\cap\mathcal{O}$ (il peut naturellement en exister plusieurs.NB: Là, je mettrais si je savais le faire une figure montrant un disque (en rouge) avec le bord en bleu.

NB: Là, si je savais le faire, je mettrais une figure dessinant le quart de plan x,y >=0 et la boule ouverte de centre (1,1) et de rayon 1,25 en mettant en évidence les parties de la frontière qui sont exclues en gros le bord du disque et celles qui sont incluses en gros les axes en faisant attention aux coins

On voit que la notion de l'exclusion des bornes qui a forgé notre intuition doit comme toujours en mathématiques être soutenue par un retour à la définition.

Ouverts et fermés

A la notion d'ouvert est associée la notion de fermé. C'est une notion corrélée mais pas contraire: Une partie est fermée si son complémentaire est ouvert et cela ne l'empêche pas d'être en même temps ouverte, sans compter qu'elle peut n'être ni ouverte ni fermée...

Propriétés des ouverts

Dans chacun des exemples ci-dessus on peut constater que l'on a donné une famille de parties de l'ensemble initial $E$ que l'on a appelés ouverts, ensemble qui a les propriétés suivantes:

1/ $E$ et $\emptyset$ sont des ouverts

2/ Toute intersection d'une famille finie d'ouverts est un ouvert

3/ Toute réunion d'une famille, finie ou infinie d'ouverts est un ouvert.

Donner une telle famille et en nommer les éléments "ouverts" c'est par définition se donner une topologie sur $E$

Les fermés étant les complémentaires des ouverts, il revient au même de se donner à la place des ouverts un ensemble de parties de $E$ appelés fermés qui a les propriétés suivantes:

1'/ $E$ et $\emptyset$ sont des fermés

2'/ Toute réunion d'une famille finie de fermés est un fermé

3'/ Toute intersection d'une famille, finie ou infinie de fermés est un fermé.

C'est l'usage seul qui fait que l'on donne une topologie par ses ouverts.

L'étude d'une topologie, sans précision de l'origine des ouverts s'appelle la topologie générale. Consulter Bourbaki et Choquet. L'étude d'une topologie ou les ouverts sont définis par référence à une norme ou une distance se trouve exposée dans Dieudonné (espaces métriques). L'étude d'une topologie dont les ouverts sont définis par une famille de semi-normes est exposée dans Schwartz.

De fait les ouverts prennent des formes différents selon les contextes. Dans la topologie grossière, les seuls ouverts sont $E$ et $\emptyset$ dans la topologie discrète, toutes les parties de $E$ sont des ouverts. Dans la topologie de Zariski sur le spectre d'un anneau sont définis par référence aux idéaux de cet anneau, etc. On consultera les articles associés.

Espace métrique, Espace vectoriel normé, Topologie définie par une famille de semi-normes

Bibliographie

Choquet Gustave, Cours d'Analyse, Tome II: Topologie, Masson, 1964

Dieudonné Jean, Cours d'analyse, Tome 1, Gauthier Vilars

Kelley John L., General Topology, Van Nostrand 1955

Bourbaki Nicolas, Eléments de Mathématiques, Topologie chapitre 1 à 4, Springer 2005

Schwartz Laurent; Théorie des distributions,2nde édition, Hermann, 1966

Ibn Harwa (discuter) 21 octobre 2017 à 14:25 (CEST)