Discussion:Loi de Hotelling

Notes

Traduction de l'article anglais. Il se peut qu'il y ait des expressions plus appropriées que celles que j'ai choisies pour des items comme le principe de différentiation minimale et quelques autres termes. A voir. J'ai mis de côté le paragraphe (anglais) sur l'application aux élections présidentielle, qui fait référence au système américain et m'a semblé nettement moins vérifiable dans le système français. Peut-être peut-on le ré-insérer en adaptant et en développant un peu.

Monsieur Moussu 12 juin 2007 à 14:41 (CEST)

petite faute sur la date de naissance: 1885 et non 1985 !

erreur sur la date de naissance 1985 !

erreur importante !

La présentation est tout-à-fait incomplète : "La loi de Hotelling prévoit que si deux magasins sont en concurrence pour s'installer dans une même rue, alors ils s'installeront côte à côte vers le milieu de l'axe. Chaque magasin approvisionnera la moitié du marché disponible : l'un attirera les consommateurs situés sur le tronçon nord, l'autre les consommateurs situé sur le tronçon sud."

La dernière affirmation est fausse. Chacun des deux concurrents aura intérêt à se localiser au milieu de la rue pour augmenter sa part de marché. In fine, ils se localisent tous deux au milieu de la rue et ont 50% de part de marché car les consommateurs sont alors indifférents entre l'un ou l'autre des concurrents. Toutefois, comme votre entrée l'indique bien, cela conduit à une diminution du bien-être social car la distance moyenne pour se rendre dans les magasins est supérieure à celle qui prévaudrait si les concurrents s'étaient localisés à 1/4 pour l'un et au 3/4 pour l'autre de la rue.

Un schéma permettrait également de mieux comprendre ce raisonnement (voir celui figurant dans le manuel de Varian, par exemple).

Le titre "Modèle de Hotelling" serait peut-être plus approprié.

En réalité, si les entreprises peuvent se placer où elles veulent de manière "continue", il n'existe pas d'équilibre au modèle d'Hotelling avec couts linéaires. Et le papier d'Hotelling de 1929 est "faux", comme souligné par Aspremont en 1978 (la référence est dans la bibliographie).

En effet, si les deux entreprises sont situées exactement à la même localisation (au milieu par exemple), alors les biens sont totalement indifférencié et on retombe sur une concurrence à la Bertrand (prix = cout marginal et profit = 0), donc les entreprises peuvent augmenter leurs profits si elles se différencie légèrement. pour une preuve mathématique rigoureuse, l'intuition étant que les fonctions de profits ne sont pas continues au point l1=l2). Les entreprises ont donc intérêt à être "infiniment proche" et au milieu, mais pas exactement au milieu et au même endroit. Mathématiquement, deux possibilités pour avoir un équilibre au modèle d'Hotelling, soit utiliser des coûts quadratiques comme dans l'article d'Aspremont (1978), qui est généralement uniquement pour avoir proposé une fonction de coût quadratique, alors que sa contribution primaire était de souligner l'erreur d'Hotteling.

L'autre solution, serait de considérer que l'ensemble des localisations possibles n'est pas l'ensemble des réels [0,1] mais l'ensemble des rationnels de la forme i/N avec i=0,...,N et N aussi grand qu'on veut (mais pas infini). Dans ce cas, on pourrait prouver que l'équilibre se situe avec les entreprises situées à 1/2 +/- 1/(2N). Et l'affirmation comme quoi chaque magasin approvisionne la moitié du marché disponible (l'une approvisionne les consommateur [0,1/2] et l'autre les consommateurs [1/2,1]) est bien valide... Je n'ai pas cherché de référence proposant cette deuxième solution, mais vu que la note d'Aspremont a maintenant 40 ans et vue que cette solution me semble relativement triviale, ça m'étonnerait fortement qu'il n'y en ai pas... De plus, une telle solution me paraitrait personnellement préférable et plus intéressante que l'affirmation "le principe d'Hotelling est faux". En effet, l'hypothèse de continuité en économie est une approximation de la réalité qui est utilisée dans le but de faciliter les calculs et les démonstrations. On est ici dans un cas très particulier où c'est cette même hypothèse qui produit le paradoxe, mais dans la réalité, il est impossible d'avoir deux produits parfaitement identiques mais là on sort du cadre encyclopédique?)

Ce problème n'est pas abordé sur la page (en). L'article d'Aspremont est simplement mentionné dans la partie discussion. Et étonnement, je n'ai pas jamais vu ce problème abordé dans un cours d'économie industrielle à l'université (bien que le modèle d'Aspremont a justement été proposé pour remédier à ce problème !). J'en avais discuté y a un ou deux ans avec mon ancien chargé de cours d'éco indus pour qui j'avais donné les TD (je m'étais rendu compte du problème qu'une fois le semestre passé et aucun étudiant n'a remarqué que le modèle d'Hotelling à l'équilibre était un duopole de Bertrand et qu'il y avait un paradoxe...), mais il ne me semble pas que ça l'ai intrigué plus que ça... Si parmis vous, il y a des profs ou chargés de TD qui ont du enseigner l'éco indus parmis les contributeurs, ça m'intéresse de savoir si vous l'abordez en cours (et comment vous l'abordez en cours)?

Ps: désolé c'est ma première contribution à Wikipedia, je dois soutenir ma thèse, puis je verrai pour compléter l'article après.

--134.59.77.253 (discuter) 29 septembre 2018 à 17:12 (CEST)

Bonjour,

La fonction de profit n'est ici pas défini pour l1=l2, mais on peut raisonnablement supposer qu'alors les gens choisissent indifféremment donc que les marchands se partagent la moitié des clients. Dans ce cas le profit n'est effectivement généralement pas continu en l1=l2. Si, par exemple, les deux marchands se retrouvent pile dans un coin d'une plage rectangulaire (cas extrême), alors comme vous dites l'un d'eux peut prendre toute la plage (sauf le coin) en se déplaçant arbitrairement peu vers son centre. C'est un équilibre instable. En fait c'est le cas en tout point de la plage, sauf au centre du rectangle, où la fonction profit est continue et l'équilibre stable.

Ces équilibres instables sont-ils des équilibres de Nash ? Si chaque joueur prévoit correctement le choix des autres et maximise son profit en conséquence (définition de l'équilibre de Nash), alors chaque joueur prévoit que quoiqu'il fasse pour maximiser son profit, l'autre se mettra au même point que lui pour faire moitié-moitié. Donc on peut argumenter que tout point de la plage est un équilibre de Nash ("si je bouge je peux augmenter mon profit, mais comme l'autre va bouger pour me rejoindre pour augmenter son profit, on sera toujours moitié-moitié, donc je vois pas pq bouger...").

Mais dans la vraie vie ça se passe pas comme ça :) D'une part, les marchands ne sont jamais EXACTEMENT au même point (distance minimale de epsilon=1/(2N) comme vous proposez) : dans ce cas le profit est continu, et le seul équilibre de Nash est celui où les deux marchands sont à +/-epsilon du centre du rectangle (pas complètement évident pour un rectangle, plus facile sur un segment de droite - l'exemple de la rue est peut être mieux que celui de la plage). D'autre part ils ne réagissent pas INSTANTANEMENT à l'action de l'autre marchand, du coup "j'ai intérêt à bouger pour maximiser mon profit le temps que l'autre comprenne et me rejoigne", et alors on se retrouve avec pour seul équilibre celui où les deux marchands sont exactement au centre de la plage.

Mais à mon humble avis, tout ça c'est un peu du coupage de cheveux en quatre pour amuser les matheux (je le dis d'autant plus facilement que je suis moi-même mathématicien), et je suis pas convaincu que ça ait un intérêt de le présenter ici. Il me semble que le lecteur a spontanément une vision intuitive (marchands pas exactement à la même place ou bien qui n'agissent pas instantanément), et que le message le plus important passe, à savoir qu'un équilibre de Nash n'est pas forcément "optimal" (selon le sens commun encore une fois, en l'occurence ici, du point de vue des clients qui n'ont pas envie de traverser toute la plage).

Levochik (discuter) 30 septembre 2018 à 11:39 (CEST)

Sur la fusion

Ce qui me gêne peut être le plus : dans l'article "pb des marchands de glace", il était clair qu'il ne s'agissait que d'un exemple. Ici, l'exemple est érigé au statut de loi. Peut être on peut y voir un intérêt historique, mais à partir du moment où la "loi de Hotelling" (ou celle de Salop, citée) ne sont (désormais) que des applications triviales d'une théorie plus complète, ne serait-il pas mieux de garder l'article "marchands de glace" (présenté comme il l'était, i.e. comme un simple exemple sans prétention) et d'y ajouter une section "historique" sur la loi de Hotelling ? Ceci dit, je me rends compte que si on me laissait faire, je supprimerais la quasi totatlité des "théorèmes économiques" (genre optimum de Pareto) en arguant "trivialité mathématique". Or il doit bien avoir des gens (des économistes par ex.) qui les connaissent sous ces noms (non ?), donc je conçois que la suppression, ou même le simple ajout dans un paragraphe "application en économie" serait dommageable. Bref, je ne suis pas catégorique dans ma proposition ci-dessus...Levochik (d) 23 octobre 2012 à 10:21 (CEST)

ah, et je tiens à faire mon mea culpa : la fusion avait été proposée depuis un moment je crois me souvenir (par Gribeco ?), et je n'ai pas réagi alors. Levochik (d) 23 octobre 2012 à 10:29 (CEST)

Revert de ce jour

J'ai annulé la suppression de la formulation mathématique du problème, pour deux raison :

• L'une est pédagogique : c'est sous cette forme que le résultat a été publié, et il est important de la présenter ainsi dans l'article, car c'est à partir de cette formulation que se comprennent les généralisations du résultats à un cercle ou un plan.
• L'autre a trait à la compréhension fondamentale du modèle. La démonstration avec des graphiques est illustrative, mais incomplète : la séparation entre les deux marchands n'est la médiane que si les coûts de transport sont linéaires. S'ils sont quadratiques, un motif de pouvoir de marché émerge, qui modifie radicalement les équilibres du jeu.

On peut en discuter ici avant toute nouvelle suppression de contenu. Bokken | 木刀 23 octobre 2012 à 10:20 (CEST)

oui, discutons-en. je comprends bien ces arguments. je trouve que le fait d'avoir deux articles (l'un renvoyant sur l'autre) avait à cet égard des avantages. La "loi" de Hotelling n'est qu'un cas particulier, comme le pb des marchands de glace (la démonstration graphique n'est pas incomplète : il ne s'agit simplement pas du même énoncé !). Ces deux cas sont un peu différents (couts de transports), ce qui rend difficile une fusion, même si l'idée de fond est strictement la même. Les deux modèles ont sans doute leur place : le marchand de glace est plus simple (donc permet d'expliquer plus clairement le fond du pb : existence d'équilibres stables non-optimaux), tandis que l'exemple de Hotelling est historique (et est peut être le nom sous lequel les économistes découvrent le pb ?). Levochik (d) 23 octobre 2012 à 10:25 (CEST)

Ma compréhension est inverse : la formulation mathématique introduit un cas général dont le problème du marchand de glaces est un cas particulier (celui avec les coûts de transport linéaires). Cette formulation permet d'aller au-delà du résultat initial en démontrant l'instabilité des équilibres par rapport au paramètre de coût de transport, ou l'inexistence d'un équilibre (en coûts linéaires) s'il y a trois marchands - la non-optimalité des équilibres de Nash du jeux n'est qu'une des propriétés intéressantes du modèle. Peut-être qu'une scission de l'article constituerait une solution, toutefois. Bokken | 木刀 23 octobre 2012 à 10:30 (CEST)

Je suis plutôt d'accord avec Bokken (d · c · b). Je vois le problème du marchand de glaces comme un exemple (un cas particulier) du modèle de Hotelling. Au passage, je me demande si on n'aurait pas plutôt intérêt à appeler l'article « modèle de Hotelling » plutôt que loi de Hotelling. --PAC2 (d) 23 octobre 2012 à 17:40 (CEST)

Evidemment, le pb du marchand de glace est un sous-cas de la "loi" de hotelling. mais les deux sont déjà des cas particuliers ! Or quitte à privilégier un exemple, il me semble que le plus simple est le meilleur : il illustre mieux le fond du pb sans l'obscurcir par des considérations annexes qui n'apportent rien au fond (les couts de transport par ex). Levochik (d) 23 octobre 2012 à 22:59 (CEST)

PS : je ne vois pas le cas des 3 marchands dans l'article. pour un exemple de jeu sans équilibre, il y a le cas plus simple du "pierre-papier-ciseaux"...Levochik (d) 23 octobre 2012 à 23:03 (CEST)

Le jeu pierre-feuille-ciseaux n'a rien à voir avec le modèle de Hotelling. Il est décrit brièvement sur la page consacrée à la Théorie des jeux. --PAC2 (d) 24 octobre 2012 à 00:21 (CEST)

Mais il a tout à voir avec la remarque de Bokken sur les 3 marchands de glace. Levochik (d) 24 octobre 2012 à 21:58 (CEST)

Clarifions, si vous le voulez bien. Ce que je comprends, c'est que pour Levochik, le "fond du problème", c'est-à-dire la propriété essentielle du modèle de Hotelling, est la non-optimalité de l'équilibre de Nash. Il s'agit pour moi d'une vision très réductrice du modèle, qui est avant tout un modèle de diversification endogène : la position des équilibres (différentiation minimale ou maximale) est au moins aussi importante que leur positionnement relativement à l'optimum social. Si on voulait illustrer la non-optimalité d'un équilibre de Nash, l'exemple canonique des cours de théorie des jeux est plutôt le dilemme du prisonnier. Bokken | 木刀 24 octobre 2012 à 09:36 (CEST)

mouaif, mais c'est pas la même chose dit de façon un peu plus classe ? et en tombant d'accord là-dessus : quel est le sens de fusionner les deux articles s'ils sont si différents ? Enfin bon, je n'en fait pas un principe. Toujours est-il que l'article actuel est bancal (on voit pas ce que vient faire le marchand de glace, puis après la même chose avec des couts de transport). Je n'ai pas spécialement de solution miracle à proposer :( Levochik (d) 24 octobre 2012 à 21:58 (CEST)