Discussion:Lemme de Gauss (polynômes)
- Admissibilité
- Neutralité
- Droit d'auteur
- Article de qualité
- Bon article
- Lumière sur
- À faire
- Archives
- Commons
Cet article est indexé par le projet Mathématiques.
Les projets ont pour but d’enrichir le contenu de Wikipédia en aidant à la coordination du travail des contributeurs. Vous pouvez modifier directement cet article ou visiter les pages de projets pour prendre conseil ou consulter la liste des tâches et des objectifs.
| Avancement | Importance | pour le projet | |
|---|---|---|---|
| Bon début | À évaluer |  | Mathématiques (discussion • critères • liste • stats • hist. • comité • stats vues) |
Cet article ne comporte pas de liste de tâches suggérées. Vous pouvez saisir une liste de tâches à accomplir (par exemple sous forme d'une liste à puces), puis sauvegarder. Vous pouvez aussi consulter la page d'aide.
Tout ou partie de cet article est issu de la scission de l’article « Lemme de Gauss (théorie des nombres) » sous CC-BY-SA 3.0, qui a depuis évolué indépendamment. Il est possible que ce contenu soit également disponible sous GFDL (voir conditions d'utilisation).
Consultez l’historique de la page originale avant le 7 novembre 2007 (version archivée à cette date) pour connaître la liste de ses auteurs.
Scission[modifier le code]
Cet article provient d'une subdivision d'un article intitulé à l'origine lemme de Gauss, maintenant subdivisé en lemme de Gauss (polynômes) et lemme de Gauss (théorie des nombres), ce dernier ayant conservé l'historique pertinent. --Cgolds 7 novembre 2007 à 15:23
Désolée, je viens de découvrir la procédure correcte. Je place le bandeau adéquat ! --Cgolds 10 novembre 2007 à 21:39
Équivalence entre la version de Gauss et la version moderne ?[modifier le code]
Edwards énonce les deux, la version moderne étant pour lui : , ce qui équivaut clairement à : si P et Q sont primitifs alors PQ aussi. Puis il dit que la version moderne implique facilement celle de Gauss, mais que la version de Gauss n'implique pas facilement la version moderne.
![{\displaystyle \forall P,Q\in \mathbb {Z} [X]\quad c(PQ)=c(P)c(Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666a14f6ca858cd0576db90559021783b70e6c4c)
Antonio Machi plagie Edwards mais dit plus précisément que la version moderne implique la version originale et que la réciproque est vraie mais pas immédiate. Est-ce exact ou est-ce une extrapolation abusive ?
Anne, 13/3/2022
Cgolds :, as-tu un avis ? Anne (discuter) 18 mars 2022 à 22:24 (CET)
Preuves d'escrocs ?[modifier le code]
Pour démontrer le point 1 de la "version moderne" pour un anneau (intègre) A à PGCD, on peut adapter le raisonnement du haut de la p. 49 de (en) Daniel D. Anderson et Muhammad Zafrullah, « The Schreier Property and Gauss' Lemma », Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, vol. 10-B, no 1, , p. 43-62 (lire en ligne) :
- A[X] est à PGCD. Donc A[X] est un anneau de Schreier. Soient P et Q primitifs dans A[X] et soit un diviseur de PQ dans A[X]. Comme A[X] est de Schreier, il existe tels que r=st (donc en fait ), s divise P et t divise Q. Comme P et Q sont primitifs, s et t sont inversibles donc r aussi. Ainsi, PQ est primitif.
![{\displaystyle s,t\in A[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf0acde72fc648f120b9b6f009425e458a9a3dc)
Mais n'est-ce pas de la triche ? Ça repose sur : A à PGCD => A[X] à PGCD, qui doit être bien compliqué (je n'ai pas accès à leur ref. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory). Peut-être même que ça comporte un cercle vicieux.
D'ailleurs, à ce compte-là, on pourrait carrément démontrer la même chose si A est seulement de Schreier, puisqu'alors A[X] est de Schreier (pour le prouver, (en) P. M. Cohn, « Bezout rings and their subrings », Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 64, , p. 251-264 (lire en ligne), théorème 2.7, s'appuie, comme dans ma preuve directe du lemme de Gauss, sur un « lemme de Kronecker », qui semble bien être ce superbe théorème).
Anne, 14/3/2022, 16 h 55
Finalement j'ai trouvé bien plus simple. Anne, 18/3/2022
