Discussion:Indice d'un sous-groupe

Vous pouvez modifier à votre guise en apportant des précisions ou bien même d'autres exemples!

Indice d'un groupe ou d'un sous-groupe ?

Le titre correct de l'article ne serait-il pas plutôt "Indice d'un sous-groupe", comme en anglais en:Index of a subgroup ?
Marvoir (d) 29 janvier 2010 à 18:11 (CET)

Pourquoi se limiter aux groupes finis ?

Soient G un groupe, fini ou non, et H un sous-groupe, fini ou non, de G. L'indice de H dans G est, par définition, le cardinal (fini ou non) de l'ensemble des classes à gauche d'éléments de G modulo H. (C'est aussi le cardinal de l'ensemble des classes à droite d'éléments de G modulo H.) Pourquoi ne pas donner cette définition générale, surtout que le titre de l'article parle d'un groupe et non d'un groupe fini ?
Marvoir (d) 24 juin 2010 à 18:41 (CEST)
OK ! Anne Bauval (d) 24 juin 2010 à 23:23 (CEST)

Proposition de "recyclage"

Que penserait-on de ceci (que j'extrais d'un cours de Wikiversité auquel j'ai contribué) ?

Soient (G,*) un groupe et H un sous-groupe de G. La relation $x^{-1}y\in H$ est une relation d'équivalence (en x et y) dans G et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de G de la forme xH, où x parcourt G. On appelle ces parties de G les classes à gauche (d'éléments de G) suivant H, ou encore modulo H.
De même, la relation $yx^{-1}\in H$ est une relation d'équivalence dans G et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de G de la forme Hx, où x parcourt G. On appelle ces parties de G les classes à droite (d'éléments de G) suivant H, ou encore modulo H.
Nous noterons G/H l'ensemble des classes à gauche d'un groupe G modulo un sous-groupe H de G.

L'application $X\mapsto X^{-1}$ est une bijection de l'ensemble des classes à gauche sur l'ensemble des classes à droite, donc l'ensemble des classes à gauche et l'ensemble des classes à droite ont même cardinal. Ce cardinal est appelé l'indice de H dans G et noté (G:H), ou encore [G:H], ou encore|G:H|.
Exemples : l'indice de G dans lui-même est égal à 1; l'indice dans G du sous-groupe réduit à l'élément neutre est égal à l'ordre de G.

== Formule des indices ==

Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et K un sous-groupe de H, autrement dit un sous-groupe de G contenu dans H. On démontre la formule des indices :

$\vert G:K\vert =\vert G:H\vert \cdot \vert H:K\vert$.

En faisant $K=1,$ nous trouvons que, pour tout groupe G et tout sous-groupe H de G,

$\vert G\vert =\vert G:H\vert \cdot \vert H\vert$.

Ceci entraîne évidemment le théorème de Lagrange, d'après lequel l'ordre d'un sous-groupe d'un groupe fini divise l'ordre de ce groupe.

La relation

$\vert G\vert =\vert G:H\vert \cdot \vert H\vert$

montre aussi que l'indice d'un sous-groupe de $\ G$ divise $\vert G\vert$.

"on" : je sais pas, mais moi : que du bien. Tu n'aimes pas le mot "recyclage" ? à ce stade, on peut déjà dire "réécriture" ! Attention peut-être de pas décoller trop vite ? "On" peut piocher ça et là des idées complémentaires dans en:Index of a subgroup, dont j'aime bien l'intro progressive, et parler de gpes topo comme à la fin du beaucoup plus sec de:Index (Gruppentheorie). "On" peut s'appuyer sur action de groupe, ou au moins le mentionner ... Tout ça ne sont que des idées en l'air, merci de t'occuper de cet article. Anne 24 juin 2010

Merci pour cette réponse. Le mot "recyclage" me semble en effet un peu étrangement choisi, mais ce n'est pas pour ça que j'ai mis les guillemets. Je voulais simplement montrer que ma proposition venait en réponse à une demande. Je vais peut-être essayer de remanier l'article en suivant tes idées, mais je n'empêche personne d'autre de s'en occuper, toutes les collaborations sont bienvenues. Je ne suis d'ailleurs pas très doué pour les exposés progressifs,j'ai tendance à aller du général au particulier, ce qui, évidemment, n'est pas très pédagogique.

Marvoir (d) 25 juin 2010 à 07:54 (CEST)

Voilà, j'ai fait un premier remaniement. J'ai laissé les groupes topologiques de côté parce que je n'ai plus mes livres de topologie et que je ne pourrais pas donner de références.

Marvoir (d) 25 juin 2010 à 19:59 (CEST)

Bonjour, je suis le créateur de la page originale et je trouve votre réécriture très bonne. C'est parfait. Bravo.--Nburo (d) 1 novembre 2010

Indice d'une intersection

Si H et K sont deux sous-groupes de G alors $[G:H\cap K]=[G:H][H:H\cap K]\leq [G:H][G:K]$, car l'application $H/(H\cap K)\to G/K,h(H\cap K)\mapsto h(H\cap K)K=hK$ est injective. Anne Bauval (d) 26 novembre 2010 à 00:41 (CET)

On pourrait très bien ajouter cela à l'article. Il en résulte que si H et K sont tous deux d'indice fini dans G, $H\cap K$ l'est aussi, ce qui est un théorème de Poincaré. (J. Calais et Rotman l'appellent ainsi, en tout cas.) Marvoir (d) 26 novembre 2010 à 12:18 (CET)

Dietzmann, Kurosch et Uzkow l'appellent aussi comme ça, mais je pense que ce serait mieux de citer Calais et Rotman, que je n'ai pas : tu t'en charges ? Anne Bauval (d) 26 novembre 2010 à 14:38 (CET)

Je l'ai fait et j'ai un peu restructuré l'article. Marvoir (d) 26 novembre 2010 à 18:54 (CET)