Discussion:Inégalité de Le Cam

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à faire : préciser les pages du Lindvall où l'on trouve la démonstration de l'inégalité de Le Cam. --Chassaing 28 avril 2010 à 10:03 (CEST)

C'est page 4-6. Mais il me semble que la preuve peut être améliorée. Le couplage me semble un peu lourd. Pourquoi ne pas simplement prendre $Y$ suivant une loi de Poisson et $X=1_{Y\geq 1}$ . Dès lors $P(X\neq Y)=P(Y\geq 2)\leq \lambda ^{2}/2$, ce qui améliore l'estimée.

Faut-il souligner que la méthode de Stein permet d'améliorer l'estimée pour $\lambda >1$ ? (Lindvall, p 63) Ogaret (d) 21 août 2010 à 00:11 (CEST)

Ca revient à choisir lambda = -ln(1-p), ce qui, en soit, donne une impression de parachutage, comparé à lambda = p, or, lors de la première approche, le but est de convaincre en allant au plus simple, plutôt que d'être optimal. L'énoncé qui est donné doit être le résultat de Le Cam, d'ailleurs, et remplit bien son rôle, dans le plupart des cas, où on a seulement besoin du bon ordre de grandeur. Mentionner des améliorations, à côté du résultat de Le Cam, est cependant toujours utile, pour qui a le temps : il y a sûrement des cas où le facteur 1/2 est crucial ...--Chassaing 21 août 2010 à 01:34 (CEST)

couplage optimal au sens de P(X=Y) maximal

quelle est la théorie sur ce sujet ? quelles sont les sources ? faut-il établir un lien avec la distance en variation, la distance de Wasserstein, le problème de transport, la convergence en loi, la convergence vers la mesure stationnaire à la Doblin ? Est-ce que la borne exprimée dans l'article est toujours atteinte ? Est ce que de manière analogue si X et Y sont de densités respectives f et g par rapport à une mesure μ, alors

$\mathbb {P} (X=Y)\ \leq \ \int _{\mathbb {R} }\ \min(f(x),g(x))\ \mu (dx)$

est une borne correcte, voire optimale ? (il me semble avoir, en tête, une démonstration de ce que c'est la bonne borne, mais ce qui importe, c'est de trouver des sources !!!! une question aussi naturelle et basique a forcément été résolue, essayer Lindvall) --Chassaing 28 avril 2010 à 13:26 (CEST)

Effectivement : voir (en) Torgny Lindvall, Lectures on the coupling method, John Wiley & Sons, 1992, 1^re éd., 257 p. (ISBN 0 471 54025 0), p. 18-20, Section 1.5, particulièrement le Théorème 5.2, pour une discussion du lien avec la distance en variation, et pour une preuve de ce que cette borne peut toujours être atteinte à l'aide d'une construction appropriée de X et Y.--Chassaing 15 mai 2010 à 17:01 (CEST)