Discussion:Groupe parfait

Décomposition en produit direct

Dans « every perfect group has a unique decomposition into indecomposable factors », je suppose (vu le titre de l'ouvrage : Applications of Finite Groups) que John S. Lomont veut dire « every finite perfect group », ou au moins, vérifiant les 2 conditions de chaînes sur les sous-groupes normaux (ou bien le sont-elles automatiquement ? est-ce que Robinson p. 85, juste après la preuve de 3.3.10, sous-entend cela ?). Pour l'instant je butine de façon désordonnée ([1], [2], [3], [4]) sans avoir le courage de m'enfoncer sérieusement dans cette théorie. Anne, 6/7/16 à 16 h 10

D'après Rotman 1999, lemme 6.30, p. 146-147, tout groupe qui satisfait à une au moins des deux conditions de chaîne est produit direct d'une famille de groupes indécomposables. Si de plus, le groupe satisfait aux deux conditions de chaîne, la décomposition est "unique" à isomorphisme près (théorème de Krull-Schmidt, théorème 6.36, p. 149 dans Rotman). Lomont n'aurait-il pas mis "perfect" par erreur au lieu de "finite" ? Marvoir (discuter) 6 juillet 2016 à 18:22

Ou plutôt il a volontairement omis "finite" (comme dans sa phrase suivante sur la décomposition des groupes abéliens) mais il fait (bien trop) subrepticement allusion (comme détaillé dans Robinson p. 85) à une vraie unicité (pas à iso près) de l'ensemble des sous-groupes indécomposables dont le groupe est somme directe (interne) ? À part ça, je piétine-flemmarde encore, prétextant un besoin prioritaire d'exemples, comme des groupes parfaits ne satisfaisant qu'1 des 2 conditions de chaînes, ou aucune. Anne, 21 h 45

Tu as raison. Lomont semble entendre implicitement "finite group" quand il dit "group": il aurait mieux fait de le dire explicitement. Il est vrai aussi que pour un groupe parfait, la décomposition est réellement unique, et non seulement "à isomorphisme près", et c'est sûrement ce que Lomont entend. Pour un exemple de groupe parfait ne satisfaisant à aucune des deux conditions de chaîne, ne peut-on pas prendre la somme restreinte d'une famille infinie dénombrable de groupes parfaits non triviaux ? C'est un groupe parfait parce que, de façon générale, le dérivé d'une somme restreinte est la somme restreinte des dérivés (voir Scott, p. 60, exerc. 3.4.13) et il me semble que dans l'exemple en question, on peut construire facilement une chaîne croissante (resp. décroissante) non stationnaire de sous-groupes. (J'espère que je ne dis pas de bêtises, j'écris ceci un peu vite.) Marvoir (discuter) 7 juillet 2016 à 08:04 (CEST)