Discussion:Famille normale

Nouvelle version plus étendue.Claudeh5 (d) 20 octobre 2009 à 10:39 (CEST)

J'aimerai avoir votre avis sur cette démonstration de Paul Montel

Dans son livre écrit en 1927, "Leçons sur les familles normales de fonctions analytiques et leurs applications", Paul Montel écrit page 36:

"Si une famille normale dans un domaine (D) n'admet aucune fonction limite égale à la constante a, le nombre des zéros de f(z)-a contenus dans l'intérieur de (D) est borné pour toutes les fonctions de la famille.

Quand nous parlons de zéros contenus dans l'intérieur de (D), nous entendons qu'il s'agit de zéros situés dans un domaine (D') complètement intérieur à (D).

Supposons, en effet, que ce nombre ne soit pas borné; on pourrait alors trouver une fonction f1 de la famille telle que f1-a admette un zéro au moins; une fonction f2 telle que f2-a admette deux zéros au moins, etc.

De la suite infinie f1, f2, ...,fn,... j'extrais la suite fn1, fn2, ...fnp,... qui converge uniformément vers f(z) dans le domaine fermé (D').

La fonction f(z) n'est pas la constante infinie puisque toutes les fonctions de la suite prennent la valeur a en un point au moins du domaine; donc elle est holomorphe, et comme elle n'est pas égale à la constante a, elle prend un nombre fini de fois la valeur a; pour n assez grand , fnp devrait prendre le même nombre de fois la valeur a, ce qui est contraire à l'hypothèse."

Un point est intérieur à D s'il est le centre d'un disque de rayon non nul tel que tous ses points sont dans D. Il appelle domaine un ensemble dont tous les points sont intérieurs. D', un domaine, est complètement intérieur à D, si le domaine D' est tel que tous ses points sont intérieurs à D ainsi que ses points frontières.

Donc il faut que fermeture(D') soit un domaine complètement intérieur à D. Ce qui revient à dire que le domaine D' fermé est complètement intérieur à D.

Mon problème est le suivant: 1/ pourquoi "La fonction f(z) n'est pas la constante infinie puisque toutes les fonctions de la suite prennent la valeur a en un point au moins du domaine" car rien n'indique que chaque fonction de la suite prend la valeur a en un point fixe indépendant du rang.

2/ "comme elle n'est pas égale à la constante a, elle prend un nombre fini de fois la valeur a" Pourquoi ? Si le domaine est borné, c'est trivial mais si le domaine n'est pas borné ???

Quelqu'un peut-il m'expliquer ?Claudeh5 (d) 24 juillet 2009 à 10:18 (CEST)

Je me demande si Montel ne raisonne pas par défaut sur un domaine D borné. Voir par exemple - le dessin de la page 22, - p 23 le quadrillage d'un domaine qui conduit à dire que D contient un nombre fini de ses sommets, - la définition de famille normale de la page 33 (sans référence à un compact, ce qui ne peut se concevoir quand si D est borné).... Avec cette condition, les points 1 et 2 seraient éclaircis, sans cette condition, le théorème me semble faux (prendre une famille infinie de fonctions toutes égales à une fonction holomorphe possédant une infinité de zéro ). Malheureusement, je n'ai pas accès à la totalité du livre. HB (d) 24 juillet 2009 à 12:14 (CEST)

Pourtant, page 5 il donne la définition d'un domaine borné. page 6, il énonce "Etant donné un point O intérieur à un domaine borné D, on peut trouver un domaine D' complètement intérieur à D, contenant le point O, et limité par un nombre fini de courbes rectifiables dont tous les points sont à une distance de la frontière moindre qu'un nombre donné e." et précise page 7 "La démonstration est encore applicable lorsque D n'est pas borné, mais dans ce cas, les lignes polygonales ne sont plus nécessairement en nombre fini."

Pour la page 22, le dessin n'est là que comme support. Il est réalisé dans le cas D borné mais le raisonnement reste valable dans le cas général (cf p6 supra et la remarque p7). Pour la page 23, la démonstration est effectuée sur tout compact mais rien n'implique que le domaine D est borné. Le domaine D' est borné, mais D à priori non.--Claudeh5 (d) 24 juillet 2009 à 13:57 (CEST)

Pour ce qui est du premier point, Montel a raison. Il n'est en rien nécessaire d'avoir un domaine borné. J'ai suppléé Montel dans ses explications ainsi:

Premier cas:Supposons qu'il n'existe pas de fonction fn telle que fn(y)=a pour un y dans D. Alors évidemment, le théorème est vérifié: toutes les fonctions ont un nombre de solutions de l'équation f(z)=a borné dans D. Il n'y a rien à démontrer. Second cas: il existe au moins une fonction fn telle que fn(y)=a, y étant dans l'intérieur de D. Alors la fonction f(z) n'est pas la constante infinie car, par la convergence uniforme, on a |fn(y)-f(y)| < e soit |f(y)| <= |a|+e. Donc f(y) n'est pas l'infini et f n'est donc pas la constante infinie. La fonction f(z) est donc holomorphe (th de Weierstrass).Claudeh5 (d) 24 juillet 2009 à 19:58 (CEST)

J'y ai bien pensé mais la convergence uniforme sur D' n'est réalisée avec certitude que si D' est un compact. et si D' est un compact, le nombre de zéro de f(z) - a est bien fini sur ce compact. Bref, Montel ne dit pas que D' est compact mais semble l'utiliser ce qui m'a fait soupçonner que D était au départ borné. En fait, sans la totalité de ce texte, ou, sans une version plus récente (ce serait l'idéal), je crains que nous ne soyons en train de faire un TI. Mais, je te laisse continuer tes recherches sur cet article . HB (d) 26 juillet 2009 à 22:40 (CEST)

Attention, ici on suppose que la famille est normale dans D.Donc on n'a pas à montrer la convergence uniforme ! Je vais regarder Schiff, quand la BU sera ouverte.Claudeh5 (d) 27 juillet 2009 à 18:45 (CEST)

Je ne comprends pas. Le fait que la famille soit normale prouve certes la convergence uniforme mais seulement sur tout compact non? (du moins c'est ce que je lis dans le Rudin) Donc pour dire que la suite converge uniformément sur D' il faudrait être sûr que D' est un compact non ? Ou alors quelque chose m'échappe dans la définition. Mais le plus sage est probablement que tu cherches une source complémentaire. HB (d) 27 juillet 2009 à 19:12 (CEST)

:Tu as raison mais il me semble que l'objection tombe facilement: supposons que f soit la constante infinie. Alors dans un disque de centre y, f(z) est infinie. Ce qui est contraire à l'hypothèse de la convergence uniforme sur ce compact puisque fn(y)=a: Pour tout e>0 il existe un rang m tel que quelque soit m'>=m, |fm'(y)-f(y)|<= e (convergence uniforme sur un disque de centre y et de rayon r quelconque assez petit. Maintenant on a fn(y)=a et |fn(y)-f(y)| <= |fn(y)-fm(y)|+|fm(y)-f(y)| <= |a-fm(y)|+e donc |a-f(y)|<=|a-fm(y)|+e donc f(y) est fini puisque les fm(y) sont des fonctions analytiques dans le disque donc finies. En fait, comme la valeur f(y) est finie, la fonction est finie partout dans le disque et donc analytique (th de weierstrass) dans ce disque. Maintenant, dans tout domaine borné contenant le disque, la fonction est analytique donc bornée. On peut ainsi atteindre tout point du domaine D. Donc f est analytiqu dans tout l'ouvert D, même si celui-ci n'est pas borné.Claudeh5 (d) 28 juillet 2009 à 08:20 (CEST)

La convergence uniforme vers l'infini ne s'exprime-t-elle pas plutôt par Pour tout A>0 il existe un rang m tel que quelque soit m'>=m et quelque soit y, |fm'(y)|> A ? (et non |fm'(y)-f(y)|<= e). Il me semble ainsi que la famille fn(z)=z+n est une famille normale qui tend vers l'infini uniformément sur tout compact et pourtant chaque fonction de la famille s'annule au moins une fois. Mais il est vrai que la notion de convergence (sic Montel?) d'une suite complexe vers oo n'est pas mon domaine de prédilection. Je crains devoir t'abandonner dans ta quête. HB (d) 28 juillet 2009 à 12:29 (CEST)

Oui, c'est ça. En fait, selon la définition utilisée on admet implicitement le résultat qu'on veut démontrer... Donc en fait, on ne démontre rien ! Ce qui me trouble depuis le début c'est le propos précis qui sert de démonstration: Le livre résulte de notes prises (les premiers chapitres) par Barbotte et rédigées par lui avec beaucoup de soin sur des leçons données par Montel à l'ENS. Il es probable que les notes ont un trou en cet endroit. Barbotte écrit: "La fonction f(z) n'est pas la constante infinie puisque toutes les fonctions de la suite prennent la valeur a en un point au moins du domaine; donc elle est holomorphe, et comme elle n'est pas égale à la constante a, elle prend un nombre fini de fois la valeur a; pour n assez grand , fnp devrait prendre le même nombre de fois la valeur a, ce qui est contraire à l'hypothèse." Donc en fait il manque une hypothèse: "toutes les fonctions prennent en un point du domaine D la valeur a" ce qui peut se traduire de deux manières: soit il existe un point y du domaine où chacune des fonctions prend la valeur a soit il existe un point dépendant de la fonction où elle prend la valeur a.

1er cas: on a trivialement f(y)=a par passage à la limite. Donc f(z) n'est pas infinie. Mais je crois que ce n'est pas ce que voulais dire Montel. 2e cas: Si on applique la définition de la convergence uniforme vers l'infini dans D, on a aussitôt une difficulté: A étant choisi tel que A> |a|, il existe un m tel que pour tout m'>m on a |fm'(z)|>A pour z dans un compact D' inclus dans D. Mais clairement m ne peut exister car aucune des fonctions fm' ne satisfait partout à la condition puisqu'elle prend la valeur a en un point du domaine.

extension: au lieu de a, il suffit donc de supposer que les fonctions fn prennent chacune dans D une valeur commune b quelconque voire même qu'il existe une sous-suite infinie de telles fonctions.Claudeh5 (d) 29 juillet 2009 à 05:55 (CEST)

Oui. A mon avis, on est dans le cas 2 et ta démonstration limpide nécessite de nouveau la convergence uniforme sur D' donc de nouveau la condition D' compact d'où pb. Il me semble que la condition "toutes les fonctions prennent en un point au moins du domaine D' la valeur a" est réalisée par construction de la suite : fn est telle que la fonction fn - a possède n zéros dans D' donc fn prend n fois la valeur a, ce qui est largement suffisant pour ce qui nous préoccupe. Donc tout tourne autour de ce seul non-dit : D' doit être compact... je présente toutes mes excuses aux lecteurs du thé pour notre flood HB (d) 29 juillet 2009 à 07:53 (CEST)

Ce n'est pas un problème qu'il faille une convergence uniforme sur D' compact. En fait on peut envisager un recouvrement de D (non borné) par des compacts en nombre infini sans que cela change quoi que ce soit. Par contre, la suite pose problème !Claudeh5 (d) 29 juillet 2009 à 13:21 (CEST)

Est-ce la même famille normale que celle mentionnée dans loi normale ?

2A04:CEC0:11D7:B8A9:B0A6:DA0F:4C1E:5DB4 (discuter) 27 août 2022 à 14:26 (CEST)

Non : comme mentionné là bas depuis le 19/10/2009 :

« Il ne faut pas confondre cette famille normale avec la famille normale de fonctions holomorphes. » Anne (discuter) 27 août 2022 à 14:44 (CEST)

Non, le terme «normal(e)» est employé en mathématique avec des sens très divers (perpendiculaire, respectant à une certaine norme, ordinaire, ...) comme tu peux en voir quelques exemple sur la page d'homonymie normal. Concernant l'étymologie pour la loi normale lire Histoire de la loi normale#Historique du nom HB (discuter) 27 août 2022 à 14:47 (CEST)