Discussion:Espace de Fréchet
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Équivalence des deux définitions[modifier le code]
Pas grand chose de sauvable dans cette section (à part la remarque finale sur les Lp, qui n'a rien à voir avec la complétude et sera donc plus à sa place dans l'article sur les localement convexes) :
- la définition générale de la complétude d'un evt (par les suites) est fausse. C'est plus compliqué, donc vaut mieux ne pas embrouiller le lecteur avec ça, et se contenter du lien (donné dans la définition en début d'article) vers Espace uniforme#Espace complet ;
- la phrase "S'il existe une distance d invariante dont les boules constituent une base d'ouverts pour un espace vectoriel topologique localement convexe E, cette distance peut être modifiée pour que ses boules soit convexes" donne une fausse apparence de simplicité (et une fausse indication de démonstration, pour ceux que ça inciterait à chercher) ;
- seule la preuve de la réciproque est incontestable (construction d'une distance invariante à partir des semi-normes), mais c'est la partie triviale du théorème.
Ce théorème est démontré en détail dans Espace localement convexe#Métrisabilité.
Anne Bauval (d) 11 février 2011 à 14:43 (CET)
Exemples à revoir[modifier le code]
Il est écrit dans l'article actuel : "En particulier, certains espaces de Fréchet ne sont pas normables. C'est le cas de l'espace C∞([0, 1]). " Cela me parait maladroit car cette espace est normable ! D'ailleurs, un exemple de norme sur cette espace est donné juste après : prendre k=0. Il me parait beaucoup plus judicieux de considérer l'espace qui lui n'est réellement pas normable et ensuite de montrer qu'on peut le munir d'une famille dénombrable de semi norme relative à des compacts. Qu'en pensez vous ? Merci.
(194.199.130.197 (discuter) 19 février 2014 à 18:36 (CET))
- C∞([0, 1]) est évidemment normable, de plein de façons, comme tout espace vectoriel réel (y compris C∞(ℝ)). Mais il n'existe aucune norme induisant sa topologie usuelle (définie juste après). Je reformule ça dans l'article, ça me semble suffisant. Anne (discuter) 19 février 2014 à 22:49 (CET)