Discussion:Développement limité

Poposition d'amélioration (pas le temps de les faires moi meme, désolé ...

Ne serait-il pas plus judicieux d'avoir les Dls des fonctions usuelles et réciproque de maniere générale, et non pas uniquement pour simplement quelques exemple ? Les approximations linéaires ne sont également pas indispensable pour toute personne capable de tronquer un polynome a un certain degré :-) Mieux vaudrait donner les termes généraux des DLs de toute fonction usuel a mon sens ... Je modifirai l'article en fonction de mon temps et de vos avi

Deux raisons pour ne pas les faire figurer. Le principe du développement limité est qu'il est limité. Quand on se veut exhaustif on donne le développement en série entière, le paragraphe en question renvoie d'ailleurs sur cet article où l'on peut trouver le développement en série entière des fonctions usuelles.

Ce même argument de limitation (développement limité) permet de justifier le développement limité classiquement utilisé en physique élémentaire: à quoi s'embêter avec le traitement d'une fonction polynomiale quand une simple fonction affine suffit. Enfin, d'autres auront peut-être un avis différent. HB 12 décembre 2006 à 22:42 (CET)

Quelques erreurs ?

Juste une petite chose qui me choque : ne manque-t-il pas des n! ou des i! partout dans l'article? En effet, je pense par exemple que f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)/1!+f"(x0)*(x-x0)²/2!+…+epsilon(x) Qu'en pensez-vous? Nicolas (ENSTB) le 6 avril 2005

Exact. Article corrigé le 23 avril 2005. HB

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je pensse la meme chose. je dirais c'est quoi les ai ? des derive ieme ???? puis le 1er et par conséquant Le 2ieme poins me paraissent louche!!! .

Tous le rest resemble a ce ke je sait SAB(06) le 19 octobre 2005

A ce jour la version de l'article est exact. Un développement limité n'est pas forcément un développement de Taylor. Voir paragraphe sur DLn et dérivée nième pour retrouver la formule avec les dérivées. HB 19 octobre 2005 à 14:01 (CEST)

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déplacement des remarques de l'IP

Dérivation et continuation

Oui et bien c'est dommage qu'il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un développement limité pour la dérivée d'une fonction admettant un développement limité d'ordre n en x.

Votre fonction f est dérivable partout sauf en 0 de dérivée 3 x² sin (1/x²) - 2 cos (1/x²).

Cette dérivée de f est paire donc la dérivée à droite et la dérivée à gauche de f en 0 est la même.

Quand x tend vers 0, d'après la définition de la dérivée f'(0) = ( f(x) - f(0) ) /x

Donc f' (0) = x² sin (1/x²). Quand x tend vers 0, x² tend vers 0 et sin (1/x²) est borné entre 1 et -1, donc f'(0) = 0.

De même quand x tend vers 0, f'(x) = ( f(0) - f(x) ) / (-x) puisque "x tend vers 0" est équivalent à "0 est tendu vers x". Donc quand x tend vers 0, f'(x) tend vers 0, donc f'(x) tend vers f'(0). Donc f' est continue en 0.

Donc je viens de démontrer que cette fonction est continue en 0 aussi donc elle possède un développement limité d'ordre 1 en 0.

On peut remarquer que on trouve que quand x tend vers 0, f'(x) = 3 x² sin (1/x²) - 2 cos (1/x²) tend vers 0. sin (1/x²) est bornée entre 1 et -1, et x² tend vers 0 donc 3 x² sin (1/x²) tend vers 0 donc cos (1/x²) tend vers 0.

Et comme 1 /x² tend vers l'infini quand x tend vers 0, quand x tend vers l'infini, cos (x) tend vers 0. On pourrait aussi démontrer que sin(x) tend vers 0 quand x tend vers l'infini.

Réponse à l'intervention de l'IP

Il est faux de dire que

" d'après la définition de la dérivée f'(0) = ( f(x) - f(0) ) /x "

car par définition, la dérivée de f en 0 est la limite de ( f(x) - f(0) ) /x quand x tend vers 0 ce qui donne pour f'(0) , non pas x² sin (1/x²) (ce qui n'a pas de sens ), mais simplement 0.

D'autre part, prouver que la fonction f' est continue en 0 , c'est prouver que la limite en 0 de 3 x² sin (1/x²) - 2 cos (1/x²) existe et vaut f'(0). Ce qui est malheureusement faux : 3 x² sin (1/x²) a bien pour limite 0 en 0, mais 2 cos (1/x²) n'admet pas de limite. La fonction f' n'est donc pas continue en 0.

C'est la raison pour laquelle les observations précédentes ont été ôtées du corps de l'article. HB 13 janvier 2006 à 19:15 (CET)

Fonctions de plusieurs variables

Ne serait-il pas pertinent de parler du développement limités de fonctions de plusieurs variables ?

Incompréhension liée à la fonction epsilon

Nous ne sommes probablement pas d'accord sur la définition de cette fonction.

La définition que j'ai eu l'occasion d'apprendre est la suivante :

Lorsque $f$ est une fonction définie sur un intervalle contenant 0 et telle que :

$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=0$ on écrira aussi $f(x)=\varepsilon (x)$ et on dira que $f(x)$ est un "$\varepsilon (x)$".

Ainsi, on pourra écrire $f(x)=a+\varepsilon (x-x_{0})$ pour signifier que $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=a$

Dans ce sens, et pour être rigoureux, il faudrait donc travailler avec $\varepsilon (x-x_{0})$ lorsque l'on se place au voisinage de $x_{0}$.

D'ailleur, dans ce même cours, nous écrivions systématiquement comme dernier terme du D.L : $(x-x_{0})^{n}\cdot \varepsilon (x-x_{0})$.

Dans un esprit de rigueur, et si cette définition est exacte, il faudrait donc revoir un certain nombre d'expressions dans la partie définition. À vous de me dire ce que vous en pensez, et quelle autre définition de la fonction epsilon vous avez. Merci d'avance. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Gulius44 (discuter), le 11 février 2008 à 18:46

Il est dangereux d'écrire sans précaution $\varepsilon (x-x_{0})$ c'est à dire sans donner son domaine de définition qui ne peut pas être celui de la fonction f. Voilà pourquoi j'ai annulé ton changement de variable. De plus si tu voulais écrire $(x-x_{0})^{n}\cdot \varepsilon (x-x_{0})$, il ne fallait pas laisser deux lignes en dessous que $\varepsilon (x-x_{0})$ tendait vers 0 et ceci plus vite que le dernier terme du développement limité. Mais, je comprends que , traditionnellement, on puisse donner un sens (non officiel) à la notation $\varepsilon$. Peut-être vaut-il mieux l'éviter dès le début. Pourquoi ne pas parler de R(x) avec R comme première lettre de reste ? HB (d) 11 février 2008 à 19:54 (CET)

attention il semblerai qu'il y ait une erreure dans le formulaire pour (^1+x)

pour la formule (1+X)^a = 1+ax+ ........ = ((a((x-1)(x-2)...( x-n-1))/ n!) le tout multiplié par x^n l' ereure réside dan la derniere parenthese sur le site il est écrit (x-n+1) au lieu de (x-n-1) ...

C EST A V2RIFIER ET A CORRIGER !!!

il semblerai qu'il y ait une erreure dan le formulaire pour (1+x)^a

formule (1+x)^a pour le developpement a la puissance n, il est écrit a(x-1).....(x-n+1) au lieu de a(x-1).....(x-n-1)

C EST A VERIFIER ET A CORRIGER

Il ne semble pas y avoir d'erreur dans la formule proposée par l'article

• $(1+x)^{a}=1+ax+{\frac {a(a-1)}{2}}x^{2}+{\frac {a(a-1)(a-2)}{3!}}x^{3}+...+{\frac {a(a-1)(a-2)...(a-n+1)}{n!}}x^{n}+o(x^{n})\,$

Il me semble que vous confondiez avec une autre formule, juste elle aussi, à condition de mettre correctement les parenthèses

• $(1+x)^{a}=1+ax+{\frac {a(a-1)}{2}}x^{2}+{\frac {a(a-1)(a-2)}{3!}}x^{3}+...+{\frac {a(a-1)(a-2)...(a-(n-1))}{n!}}x^{n}+o(x^{n})\,$

mais celle de l'article me semble plus lisible. HB (d) 4 avril 2008 à 11:06 (CEST)

il semblerai qu'il y ait une erreure dan le formulaire pour ln(1-x)

Si l'on fait augmenter x, ln(1-x) tend a diminuer, alors que la formule proposé tend a se comporte dans le sens inverse.

J'hésite a mettre une note dans l'article quand a l'utilisation de ce formulaire . . . Deadalnix (d) 20 août 2008 à 07:43 (CEST)

Merci d'avoir signalé. Il s'agissait d'un vandalisme datant du 11 aout et non détecté. Version correcte remise. HB (d) 21 août 2008 à 19:31 (CEST)

Erreur dans la formule pour ln(1+x) ?

erreur pour le developpement limité de ln(1+x) et de ln(1-x) =>>> c est un o(x^n) et non o(x^n+1) source : http://exo7.emath.fr/ficpdf/fdevlim.pdf Message déposé par une IP le 14 avril 2010

Non, pas d'erreur dans cette formule, le choix a été fait de donner le DL de ln(1+x) à l'ordre n+1 car il s'obtient en intégrant le DL à l'ordre n de 1/(1+x). Maintenant, peut-être serait-il préférable de donner les DL tous au même ordre quand c'est possible ? HB (d) 14 avril 2011 à 14:13 (CEST)

terme anglais pour "développement limité"?

La traduction en anglais du terme "développement limité", dans le sens précis où il est utilisé en France et dans cet article, (me) pose problème. On pourrait peut-être envisager "Taylor's polynomials" ou "Taylor's expansion" (mais je ne sais si ce serait approprié pour l'exemple x^3.sin(1/x^2), qui a un développement limité à l'ordre 2 en 0, mais pas vraiment de développement de Taylor, puisque les dérivées n_ième (n>=1) n'existent pas en 0...)? On peut noter que les logiciels de calcul symbolique (à syntaxe anglo-saxonne) semblent couramment utiliser le terme "Series" pour donner un DL à un ordre fini, ce qui est un peu ‘paradoxal’...

En tout cas, je trouve assez peu judicieux qu'un clic sur Autres langues\English en marge de cet article renvoie sur «Taylor series», qui me semble être une problématique différente (même s'il y a des liens). Un renvoi sur l'article «Taylor's theorem» me semblerait plus approprié, à défaut d'un éventuel véritable équivalent...

--78.223.9.117 (d) 5 novembre 2011 à 20:52 (CET)

Le bouquin d'Henri Cartan calcul différentiel est traduit en anglais en differential calculus. Ce que Cartan appelle « développement limité » est traduit par le terme de « finite expansion ». Cet article n'existe pas en anglais. Je pense qu'effectivement, les interwikis actuels ne conviennent pas et je les supprime donc. HB (d) 6 novembre 2011 à 11:04 (CET)

-- Pour ma part arrivant sur cette page pour chercher l'équivalent en d'autres langues (anglais et espagnol en l'occurrence), j'aimerais trouver cette discussion sur la traduction du terme, dans le contenu si ce n'est pas dans les liens interwikis

Erreur de notation pour le signe "multiplier" ?

Bonjour,

Il me semble qu'il y ait une erreur dans l'écriture du dl_2n+2(0) de la fonction arcsin. En effet, le signe "multiplier" est symbolisé par un point à mi hauteur de la ligne. Or on peut le confondre avec le produit scalaire... Il me semble qu'en français, le point est situé en bas de ligne et non au milieu. Certes en anglais il est au milieu, mais il ne faut pas se mélanger les pinceaux. Fais-je une erreur ?

Si quelqu'un se sent apte à faire cette correction je le remercie d'avance.--Automatik (d) 18 juin 2012 à 04:57 (CEST)

Il me semble que la notation officielle en français est la croix × et non le point. Je crois[1] que le point, sur la ligne, est toléré pour l'écriture scientifique 3.10². As-tu une source pour affirmer que la norme française pour le signe de multiplication pourrait être un point mais qu'il ne doit pas se situer au milieu de l'interligne ? Je veux bien changer si cela est nécessaire mais je suis plutôt favorable à une normalisation interlangue si cela est possible. HB (d) 18 juin 2012 à 09:58 (CEST)

Salut, dans l'article Produit de Wikipedia on peut lire :

L'opérateur est noté par le signe multiplication « × », un point « . » sur la ligne quand le séparateur décimal est la virgule[réf. nécessaire] et un point opérateur « ⋅ » (médian) lorsque le point sur la ligne sert déjà de séparateur décimal, comme dans la convention anglo-saxonne ;

Je suis, dans l'idée, d'accord avec une normalisation interlangues. Or ici il me semble qu'elle est rendue gênante par l'opposition des conventions anglaise et française des notations. En effet, en anglais le point en bas est un séparateur décimal, la virgule est un séparateur. En français, c'est donc totalement différent; et, ne pouvant en un clin d’œil changer les conventions, il me semble que, pour ne pas se mélanger les pinceaux - et par la même occasion prêter à confusion le lecteur -, il serait souhaitable de ne pas faire cohabiter les deux notations, ni se permettre de n'utiliser que l'anglaise pouvant alors troubler le lecteur lors de lectures annexes - où alors les conventions seraient respectées.--Automatik (d) 18 juin 2012 à 18:24 (CEST)

c'est drôle je te demande une référence sur la position du point pour le signe multiplicatif en notation française et tu me cites une phrase où justement on demande une référence. Je doute personnellement qu'un quelconque lecteur puisse être troublé par une lecture annexe en remarquant le léger décalage du point. Je me répète donc : je ferai volontiers la transformation si on peut me prouver que la norme française du signe multiplicatif est bien un point sur la ligne et surtout pas un point médian. HB (d) 18 juin 2012 à 19:03 (CEST)

Pourquoi ne doit-on pas le mettre au milieu de l'interligne ? Pour la même raison qu'on ne met pas une virgule pour séparer 3 chiffres d'affilée d'un même nombre. Je ne défends pas les habitudes françaises, je défends la cohérence. Et ici, ce symbole est tiré des notations anglaises mais nous nous situons dans la version française de Wikipedia. Le symbole ".", lui, est beaucoup plus légitime puisque souvent utilisé dans des écrits scientifiques français. Certes dans la notation 2.10ⁿ mais aussi en physique par exemple (m.s, km.h, etc.), ou encore dans mon cours de maths de L1, où la rigueur est de mise (dans d'autres sites également, mais je n'ai pas trouvé de "preuve" affirmant l'autorisation d'un signe et l'interdiction d'un autre; le bon sens, par contre, m'a permis de deviner lequel est d'usage et lequel ne l'est pas). En bref, je comprends ton indignation en l'absence de preuve, mais je trouve logique de se rabattre sur ce qui est d'usage plutôt que sur ce qui ne l'est pas (sauf par abus de langage). Je me suis aussi indigné la première fois que je voyais une divergence des notations en anglais et en français, car cela ne permet pas une meilleure internationalisation de l'apprentissage, qui a raison de se vouloir universel notamment lorsqu'il s'agit de l'apprentissage des mathématiques. Cependant je trouve qu'il est légitime de respecter de manière rigoureuse les notations en mathématiques.--Automatik (d) 18 juin 2012 à 22:07 (CEST)

Pour ma part ça me surprend beaucoup, j'ai l'habitude du point « au milieu » et je ne le vois pratiquement jamais « en bas » (comme ça me choque particulièrement, j'y fais attention), même dans des textes en Français, sauf ceux qui sont mal tapés sous Word. Je vérifierais dans des livres dès que possible, ça ne fait pas une norme, mais au moins ça donne une idée de l'usage. Il y a aussi un guide de l'AFNOR sur les unités, qui aborde aussi les formules, je regarderai ce soir. Quant au guide de l'Imprimerie nationale, je ne pense pas qu'il traite les formules mathématiques. En relisant, je vois qu'il n'y a pas le feu, mais quand même, pour moi c'est le choc là M57885161 (discuter) 2 février 2015 à 12:45 (CET)

Modif lien · Nommé Théorème de Taylor selon l'article détaillé

Je ne suis pas d'accord avec cette modif parce que le lien antérieur (intitulé et cible vers section) formule de Taylor-Young était plus précis. Anne, 9/9/16

Je n'y vois aucun inconvénient mais j'ai cru voir une contradiction dans les dénominations. L'expression formulé ici dans la section Développement limité#Développement limité et fonctions dérivables est rigoureusement la même que celle présentée comme une définition dans l'article Théorème de Taylor... mais il y a peut-être quelque chose qui m'échappe.— Ellande (Disc.) 9 septembre 2016 à 13:19 (CEST)

Erreur dans le contre-exemple de "dérivation des dévellopement limités"

Il me semble que la dérivée de la fonction x³ sin(1/x) est 3x² sin(1/x) - x cos(1/x) qui tend vers 0 en 0 et qui est bien continue, contrairement à ce qu'affirme l'article. Il faudrait plutôt prendre la fonction x³ sin(1/x²) comme contre-exemple, ou plus généralement la fonction x^(n+1) sin(1/x^n) qui admet un dévellopement limité à l'ordre n mais dont la dérivée n'est pas continue. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 195.68.41.168 (discuter), le 6/4/17 à 14 h 43.

Oups, c'est ma faute ! Merci, je rectifie. Anne, 15 h 07

Merci ! Mais je préfère quand même la fonction x³ sin(1/x²) dont la dérivée n'admet même pas de DL_0 195.68.41.168 (discuter) 7 avril 2017 à 13:10

Ah ? moi, justement pour cette raison, je préfère x³ sin(1/x) qui est plus un « cas limite ». Il est sourçable : [2] [3] [4], mais x³ sin(1/x²) est sourçable aussi. Anne, 18 h 34

Le degré de la partie principale d'un développement limité n'est pas (nécessairement) l'ordre de ce développement

Le paragraphe introductif affirme :

(...) un développement limité d'une fonction en un point est (...) l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme :

• d'une fonction polynôme dont le degré est appelé l'ordre du développement ;
• et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré. [fin de citation]

L'affirmation sur le degré « appelé ordre du développement limité » est inexacte : la détermination de l'ordre du développement limité nécessite de connaître le reste (pardon de rappeler ces évidences, qui d'ailleurs figurent plus bas dans l'article (définition et exemples)) ; par exemple, en 0 pour la fonction cosinus : $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+o(x^{2})=1-{\frac {x^{2}}{2}}+o(x^{3})$ ; le développement limité d'ordre 2 et celui d'ordre 3 ont la même partie principale, ici de degré 2 (et que dire des développements limités dont la partie principale est nulle ?).

Vivarés (discuter) 7 avril 2017 à 13:01 (CEST)

Erreur dans la définition

C'est moi ou la phrase "R(x) tend vers 0 lorsque x tend vers x0", dans la définition, est juste fausse ? Si je dis que x3 + x2 = x3 + o(x3) en +inf, o(x3) ne tend pas du tout vers zéro, il diverge... C'est bien le rapport x2/x3 qui tend vers zéro, et uniquement lui.--Cattzy (discuter) 8 août 2017 à 18:57 (CEST)

Pour moi c'est bon : le DL est défini autour d'un réel (pas +inf), et l'approximation est polynomiale. Si ce n'est pas le cas, on parle plutôt de Développement asymptotique. La phrase "R(x) tend vers 0 lorsque x tend vers x0" est accessoire, mais peut clarifier les choses pour quelqu'un qui rencontre les DL pour la première fois. --Vybduchene (discuter) 8 août 2017 à 23:12 (CEST)