Discussion:Composition de fonctions

Redondance dans la définition

Voici le début de la définition de la composition de fonctions : "Soient $X$, $Y$ et $Z$ trois ensembles quelconques. Soient deux fonctions $f:X\to Y$ et $g:Y\to Z$. Si l'ensemble d'arrivée de $f$ est inclus dans l'ensemble de départ de $g$ (c'est-à-dire si $f(X)\subset Y$)...". La condition "Si l'ensemble d'arrivée de $f$ est inclus dans l'ensemble de départ de $g$ (c'est-à-dire si $f(X)\subset Y$)" est inutile. En effet, $f$ est définie de $X$ dans $Y$, donc nécessairement $f(X)\subset Y$.

problème de cohérence

« La composition de fonctions n'est valable que si les domaines de définition des fonctions sont compatibles. » FAUX!!!

• La composition de deux fonctions a toujours pour résultat une fonction
• La fonction composée obtenue n'est toutefois intéressante que si son domaine de définition n'est pas vide; pour cela, il faut non seulement que les domaines de définition et les images des deux fonctions que l'on compose ne soient pas vides, mais aussi que l'intersection de l'image de la première fonction appliquée avec le domaine de définition de la seconde fonction appliquée ne soit pas vide non plus. La condition d'inclusion d'un domaine de définition dans l'autre n'a RIEN à faire ici!

Prenons un exemple où les quatre ensembles de départ et d'arrivée impliqués sont différents (contrairement à l'exemple cité dans l'article, qui incite à la confusion...):

Soit f la fonction de D dans Q qui à x associe son opposé; et soit g la fonction de Z dans R qui à x associe sa racine carrée. f a pour domaine de définition D et pour image D. g a pour domaine de définition N et pour image l'ensemble des racines carrées des nombres entiers positifs, ensemble que je baptiserai Y.

gof a pour ensemble de départ celui de f, c'est-à-dire D, et pour ensemble d'arrivée celui de g, c'est-à-dire R. Pour qu'un élément de l'ensemble de départ de gof ait une image, il faut :

• qu'il ait une image par f, donc qu'il appartienne à Domf, ici D;
• que cette image, qui appartient à Imf, ici D, ait à son tour une image par g, donc appartienne à Domg, ici N; il faut donc qu'elle appartienne à l'intersection de Imf et Domg, ici N.

Cela a pour conséquence que le domaine de définition de gof est l'intersection de Domf et de l'image réciproque de l'intersection de Imf et Domg. On en déduit que gof a pour domaine de définition Z^-.

Par ailleurs, comme l'intersection de Imf et Domg se confond avec Domg, l'image de gof se confond avec celle de g, c'est-à-dire Y.

Bref, on ne retrouve dans cet exemple comme domaine de définition de gof ( = Z^- ), ni Domf ( = D ), ni Domg ( = Z ), ni leur intersection ( = Z ).

Ce qui rend « valable » la composition de ces deux fonctions, c'est que l'intersection de Imf et Domg n'est pas vide, et non qu'il existe un rapport entre Domf et Domg.

80.118.33.228 22 janvier 2007 à 17:39 (CET)

"soit g la fonction de Z dans R qui à x associe sa racine carrée" depuis quand on peut avoir une racine d'un nombre négatif ? Cordialement, iAlex (Ici ou là), le 22 janvier 2007 à 17:55 (CET)

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JE pense que tu confonds domaine de définition avec ensemble de départ et ensemble d'arrive

je t'invite à consulter http://fr.wikipedia.org/wiki/Domaine_de_d%C3%A9finition

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Problème d'ordre

Vous dites que la fonction composée de $g$ par $f$ correspond à la fonction $g\circ f$. Or d'après mon cours de mathématique et http://euler.ac-versailles.fr/baseeuler/lexique/notion.jsp?id=25 (source sûrement fiable puisque hébergée par l'académie de Versailles), la fonction $g\circ f$ est la composée de $f$ par $g$ !

--Ekingr (d) 7 juin 2008 à 18:09 (CEST)

Oui ce que tu dis est vrai. Malheureusement, la notation fog porte souvent a confusion , il faut la lire de droite a gauche.

Exemple: Soit f(x)=5X^2 et g(x)=1/x +3.On a donc fog=5((1/x +3)^2)=5/x^2 +30/x +45. Il faut partir de g pour arriver a f et non l'inverse comme beaucoup de gens le font.(Il faut dire que la notation y est pour quelque chose.)

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J'invite Alphos à justifier sa révocation plutôt que de défaire avec un "non" péremptoire et sans appel.

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Je suis venu lire les commentaires, parce que comme Ekingr, j'avais appris à l'école que $g\circ f=f(g(x))$. Cela étant dit, [lien qu'il mentionne] dit maintenant la même chose que Wikipedia, à savoir que $g\circ f=f(g(x))$.

Je comprends la logique des deux positions, mais je pense effectivement que cette interprétation plus moderne (?) de l'opérateur $\circ$ prête moins à confusion.

--Pchampin 12 septembre 2016 à 10:41 (CEST)

Pour ceux qui n'ont pas compris comment appliquer les calculs

On pose g(x)=y. Donc pour obtenir fog, à chaque fois que vous voyez un x dans f , vous le remplacez par y( qui est l'expression de g(x) ).

Pour vous faire comprendre le sens de lecture de fog , je vais vous donner un exemple extrêmement simple , et si vous vous y tenez , vous y arriverez très facilement .

On pose: f(x)=3x^2+2x +5 et g(x)=6x+3=y

On a donc fog=3(y)^2 +2(y)+5=3(6x+3)^2 +2(6x+3)+5=3(36x^2+36x+9)+12x+6=108x^2+120x+33

C'est exactement le même principe d'une vérification d'un résultat trouvé: Exemple:2x=4 , donc x=2 et pour vérifier , vous réinjecté le résultat trouvé dans x, et cela nous donne 2*(2)=4.

Dans fog , le problème c'est juste que vous gardez des x mais c'est le même principe que la vérification, il faut injecté g(x) dans les x de f.

Si cette explication ne vous paraît satisfaisante , dites-le.

Source récursive

Les sources de l'article incluent Techno-science, dont la source est Wikipédia même... — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Eglvoland (discuter), le 27 avril 2022 à 23:10 (CEST)

C'est réparé. Merci. Anne (discuter) 28 avril 2022 à 07:31 (CEST)