Discussion:Anneau de Bézout

Exemples

On peut sourcer l'exemple des entiers algébriques avec ça mais je ne le colle pas dans l'article car on doit pouvoir trouver meilleure qualité et en français. Pour d'autres exemples (plus compliqués en général que Z+XQ[X] mais peut-être pas tant si on choisit bien, et en tous cas plus instructifs), il y a ce cours de haut niveau en anglais (mais certainement aussi Bourbaki) qui montre constructivement que tout groupe abélien totalement ordonné est le groupe de valuation d'au moins un anneau de valuation (p. 191). Or un anneau de valuation est principal ssi c'est un anneau de valuation discrète, autrement dit si le groupe est Z. Donc il "suffit" de prendre n'importe quel grab totord autre que Z et de construire un anneau de valuation dont il est le groupe. Anne Bauval (d) 17 février 2011 à 15:32 (CET)

La preuve dans le cours de Pete Clark est dans §23.4 (théorème de Kaplansky). Elle est assez simple. Sur planetmaths et la page anglophone, c'est la même méthode. Pour appliquer le théorème de Kaplansky à l'anneau des entiers algébriques, il faut savoir que le groupe de classes de toute extension finie est fini (ou de torsion), c'est là le résultat dur. Liu (d) 17 février 2011 à 23:00 (CET)

Ah oui tiens, je n'avais pas vu que ça aussi est fait (en très général) p. 215 de ce cours en anglais. Tu crois qu'on peut le mettre comme source ? et/ou planetmath ? ou bien as-tu (à la place ou en plus) en français et "mieux" ? = affaire de goûts : ref imprimée ou lien web ? version pour les nuls ou version la plus générale possible ? évidemment, le "mieux" serait de remplacer "ou" par "et"

Mon pb était surtout la suite de la Discussion:Anneau à PGCD : faut-il mettre ici le contre-exemple étudié là-bas (en plus des fonctions entières et des entiers algébriques) parce qu'il est plus élémentaire et malgré le TI, et/ou un exemple du comme ci-dessus (et dans ce cas : général et savant, ou cas particulier à la main ?)

Les exos 21 et suivants de Bourbaki AC.VII m'ont l'air d'être une mine (peut-être un espoir pour trouver un anneau intègre à PGCD qui ne soit ni bezoutien ni factoriel) Anne Bauval (d) 18 février 2011 à 19:55 (CET)

Moi personnellement je n'ai rien contre la page de planetmaths sur ce sujet. Le polycopié de Pete n'est pas sous la forme définitive, l'URL semble moins pérenne aussi. Pour les exemples, désolé j'ai le cerveau trop ramoli là pour suivre vos discussions de haute volée Liu (d) 19 février 2011 à 00:59 (CET)

Un exemple d'anneau de valuation non discrète qui ne tombe pas du ciel: on considère le corps des entiers p-adiques (avec sa valuation p-adique, discrète), on considère une clôture algébrique \bar{Q}_p de Q_p. Comme Q_p est complet, sa valuation se prolonge de façon unique en une valuation sur \bar{Q}_p. Celle-ci n'est pas discrète car v(p^{1/n})=1/n pour tout entier naturel n >0. La complétion de \bar{Q}_p pour cette valuation est un corps complet, algébriquement clos (Krasner) qu'on note C_p. Il joue un peu le rôle de \C en analyse p-adique. Tout ça doit se trouver dans n'importe quel bouquin d'analyse p-adique. On peut aussi considérer le corps des séries formelles $\mathbb {C} ((t))$ à la place de Q_p. Liu (d) 27 février 2011 à 23:25 (CET)

Propriétés

Je ne suis pas convaincu par le fait que tout anneau pseudo-bézoutien vérifie le lemme de Gauss. La justification semble être que tout anneau à PGCD vérifie le lemme de Gauss, or il me semble qu'il faut une condition d'intégrité (voir Anneau à PGCD#Propriétés_des_anneaux_intègres_à_PGCD. --Celastus (discuter) 25 février 2022 à 13:58 (CET)

Je suis d'accord avec toi, il faut rétablir l'hypothèse d'intégrité effacée le 24/5/12. Plus précisément :

• tout anneau pseudo-bézoutien vérifie le lemme de Gauss d'après cette preuve, donc aussi le lemme d'Euclide ;
• le lemme d'Euclide s'exprime par « tout irréductible est premier », donc le 2^e point est redondant ;
• le 3^e point (intégralement clos) n'a pas de sens si l'anneau n'est pas intègre, à moins de trouver dans les bouquins une généralisation de cette notion, via celle d'anneau total des fractions (en).

En résumé, si on veut rester le plus général possible :

• pseudo-Bézout (implique à PGCD, mais) n'implique Gauss et Euclide que directement ;
• Bézout implique intègre à PGCD qui implique intégralement clos.

Anne, 19 h 31

P. S. 19 h 54 : et encore… sans intégrité, il vaudrait peut-être même mieux se limiter à Gauss (sans Euclide ni irréductible = premier) :

• pour « Gauss ⇒ tout irréductible est premier », il ne faut pas prendre n'importe quelles définitions pour « irréductible » et pour « premier » car en l'absence d'intégrité, les variantes de définitions données dans Primalité dans un anneau ne sont plus équivalentes. Par exemple dans $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$, 3 est irréductible au sens où il n'est ni nul, ni inversible et il est premier avec tout élément qu'il ne divise pas (c'est-à-dire avec 1, 2, 4 et 5), et pourtant il est produit de deux éléments non inversibles (3 ≡ 3²) donc il ne vérifie pas la première variante de la définition de « irréductible » ;
• pour « tout premier est irréductible », l'intégrité est indispensable : dans l'anneau non intègre ℤ², l'élément « premier » (1, 0) n'est pas « irréductible ».

Je suis d'accord avec toi, il faut une cohérence avec l'article primalité dans un anneau. Irréductible a un sens emprunté aux polynomes, et sa définition est quasiment toujours la même : non nul, non inversible et si p=ab, a ou b est inversible.

Une confusion viens du fait que la définition d'un nombre premier que l'on apprends à l'école est celle d'un élémént irréductible dans un anneau, ces deux définitions étant équivalentes dans Z car Z est intègre et à PGCD (le fameux lemme d'Euclide).

En ce qui concerne les différents types anneaux, j'ai fait un schéma qui pourrait servir, l'avis de la communauté m'intéresse : https://img.super-h.fr/images/a3a86fb712710df4ac3f7ba2f7c95091.jpg--Celastus (discuter) 28 février 2022 à 22:25 (CET)

Je viens de comprendre (enfin !), il y a deux cas dans lesquels on peut prouver le lemme de Gauss : si l'anneau est intègre à pgcd (c'est la preuve sur laquelle je m'accrochais), ou si l'anneau est pseudo bézoutien. En effet, dans ces cas, deux éléments premiers entre eux sont fortement premiers entre eux (par Bézout), ils sont donc premiers entre eux au sens de Gauss (fortement premiers entre eux, c'est très fort).--Celastus (discuter) 28 février 2022 à 22:25 (CET)

Bonjour Anne. Je ne suis pas convaincu par le fait que dans un anneau de Bezout, tout élément irréductlbie est extrémal. Voici ma démonstration, qui suppose que A est principal. On suppose que p est irréductible, il faut montrer (p) est maximal, autrement dit que tout idéal de A contenant (p) est soit A, soit (p). Soit I un idéal de A contenant (p). A est principal donc I=(a) pour un certain a. p est un élément de (a) donc p=ka pour un certain k. p est irréductible donc k est inversible ou a est inversible. Si a est inversible alors I=A. Si k est inversible alors a et p sont associés donc I=(p). Je ne vois pas comment établir cette preuve si A n'est pas principal.--Celastus (discuter) 28 février 2022 à 14:30 (CET) @Anne_Bauval As tu une source sur le fait que dans un anneau de Bézout, tout élément irréductible est extrémal ? Je n'en suis pas convaincu et le sujet m'intéresse--Celastus (discuter) 28 février 2022 à 22:59 (CET)

Celastus,le qualificatif d'extrémal n'étant pas défini dans les sources (pour Bourbaki extrémal=irréductible) comme dans WP, on risque d'avoir du mal à en trouver. Cependant si par extrémal on entend : p est extrémal, si, pour tout x non multiple de p (p)+(x)=A, cela ne me semble pas la mer à boire:

Dans l'anneau (intègre), on suppose p irréductible, donc non nul, non inversible, dont les seuls diviseurs sont les associés et les inversibles. Pour tout x, (p) + (x) est un idéal principal (car l'anneau est de Bezout): (p) + (x)=(d) . Comme p est élément de (d), d divise p (irréductible) et d est donc un inversible ou un associé de p. De même, d divise x, x n'est pas multiple de p donc d n'est pas un associé de p, donc d est inversible et (d)= A

si tu prends pour def : p extremal si (p) maximal, tu reviens à la dem précedente en prenant dans l'idéal (I) contenant strictement (p) un élément x de I\(p).

Dans Szpirglas, on se contente de l'équivalence : premier (non nul) <-> irréductible valable dans tout anneau (intègre) à PGCD (p. 509) et de l'implication Bezout=>PGCD (p.510)

HB (discuter) 1 mars 2022 à 09:25 (CET)

Merci beaucoup HB, je n'ai pas eu l'idée de prendre un élément de I\(p). Au passage, merci aussi pour l'autre caractérisation de extrémal. Dans mon cours, on avait simplement traité le cas où A est principal. C'est ici que j'ai découvert toutes ces nuances d'anneaux. Celastus (discuter) 1 mars 2022 à 11:08 (CET) J'ai relu avec attention, et je n'arrive pas à voir à quel moment tu te sert de l'intégrité. Pour moi, a et b sont associée si a divise b et b divise a. Si a et b sont égaux à un inversible près alors ils sont associée mais la réciproque n'est vraie que dans un anneau intègre. Pour autant, si p est irréductible p et d divise p, alors d est inversible ou d est égal à p à un inversible près, ce qui implique bien que d est inversible ou que d est associé à p (même si l'anneau n'est pas intègre). Je ne vois donc pas à quel moment tu utilises l'intégrité de A.--Celastus (discuter) 1 mars 2022 à 12:21 (CET)

Je ne cherche pas à utiliser l'intégrité. Je me place dans une zone de sécurité où je suis sûre par exemple que toutes les caractérisations d'irréductible sont valables. Il est possible que (il me semble que) ce ne soit pas nécessaire mais je ne me lancerai pas sans garde-fou dans un tel TI. La page de discussion devrait ne servir qu'à savoir ce qui se met ou non dans un article et éviter de dériver sur l'élargissement possible de démonstration, amha HB (discuter) 1 mars 2022 à 12:43 (CET)

Autre chose : je suis un peu dérangé par la première phrase qui dit qu'un anneau de Bezout est un anneau dans lequel la propriété de Bézout est vérifiée. C'est un peu court ! Pour qu'un anneau soit un anneau de Bezout, il doit être intègre, et je ne pense pas que la propriété de Bézout implique l'intégrité.--Celastus (discuter) 28 février 2022 à 15:17 (CET)

Résolu. Mention de quasi-bezoutien dans la première phrase du RI ajouté par Anne. HB (discuter) 1 mars 2022 à 09:33 (CET)

Anneau pseudo-bezoutien

Quelqu'un peut-il vérifier la source Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre VII, paragraphe 1, exercice 20-21, p. 279-280. Moi, j'y lis:

• « On dit qu'un anneau intègre est bezoutien (ou anneau de Bezout), si tout idéal de type fini est principal »
• « On dit qu'un anneau intègre est pseudo-bezoutien si le groupe K*/U est réticulé » (K corps des fraction de A, U ensemble des inversibles, K*/U muni de la relation d'ordre de divisibilité

Il semble donc que la nuance entre Bezout et pseudo-Bezout ne réside pas sur la notion d'intégrité. HB (discuter) 28 février 2022 à 17:34 (CET) PS: J'avoue être plus sûre de l'exactitude du RI de février 2012]. HB (discuter) 28 février 2022 à 17:34 (CET)

Résolu par Anne (merci) en changeant pseudo en quasi. HB (discuter) 1 mars 2022 à 08:42 (CET)

principal <=> bézoutien + atomique

Il me semble qu'il n'est pas vrai qu'un anneau est principal si et seulement si il est de Bézout et atomique. En fait l'article de Cohn contient une affirmation fausse : atomique <=> condition de chaîne ascendante sur les idéaux principaux. Par contre : principal <=> bézoutien + ACC sur les idéaux principaux. 134.157.12.113 (discuter) 7 septembre 2023 à 14:12 (CEST)

c'est effectivement un problème. Mais Anne Bauval qui a ajouté cette info sur cet article est aussi celle qui qui précisé la différence entre anneau ACC et anneau atomique sur l'article anneau atomique. Je n'ai pas la compétence suffisante pour lire l'article de Cohn et pour savoir si il démontre ACC + bézoutien => principal ou atomique + bézoutien => principal. Le mieux serait une autre source qui précise mieux la chose. Je ne prendrai pas sur moi, vu mon absence de compétence, de remplacer atomique par ACC . Mais si quelqu'un voit une autre solution (note de bas de page? modification de l'affirmation en ayant la conviction que atomique + bézoutien n'implique pas principal ?) je laisse faire sans pb. HB (discuter) 7 septembre 2023 à 17:44 (CEST)

Il semble que dans le cas des anneaux bézoutiens l'équivalence ACCP <=> Atomique persiste. Voir Pete L. Clark, « Factorization in intégral domaine », 2010, th 46, p. 26 (factorization domain= atomique). HB (discuter) 7 septembre 2023 à 18:32 (CEST)