Discussion:Affinité (mathématiques)

Quelques remarques

Plusieurs points dans cet article méritent d'être éclaircis :

1. qu'appelle-t-on somme directe de deux endomorphismes ?
2. Il faudrait être clair sur la définition officielle d'une affinité de nos jours : certains ouvrages et certains cours interdisent le rapport nul, l'affinité devient donc une transformation mais la projection n'est plus comptée dans les affinités.
3. L'illustration présente dans le paragraphe affinité ponctuelle est axée, à mon avis, davantage sur l'affinité vectorielle (l'image mise en valeur est celle du vecteur et non du point, la direction G est représentée, le point H est absent)
4. Enfin, l'affirmation que "toute application affine associée à une affinité vectorielle de rapport différent de 1 et de -1 est toujours une affinité ponctuelle" me paraît fausse : sauf erreur l'application qui à M(x ; y) associe M'(x+1; 2y) a pour application vectorielle associée une affinité de base vec(i) de direction vec(j) de rapport 2. Or ce n'est pas une affinité ponctuelle car elle n'a pas de point fixe. HB 7 avril 2006 à 16:08 (CEST)

Remarques (suite)

16 ans plus tard, je relis l'article et remarque encore des points à améliorer.

• Parler du vectoriel avant l'affine me parait dommage (vu le nom de la fonction). Tous les ouvrages que je consulte définissent l'affinité à partir de la projection affine ([1], (idem pour le J'intègre de 1999, qui prend en plus un rapport tjs non nul). Masquer ce fait me parait dommage;
• Finalement l'illustration dont je critiquais la place il y a 16 ans n'est pas vraiment adaptée puisqu'elle mélange l'affine et le vectoriel
• les interwikis n'envoient pas sur les bons articles : sur de il s'agit semble-t-il des transformations affines (application affine de E dans E bijective sans contrainte sur les points fixes) et sur es, il s'agit des homologies affines (avec tjs un hyperplan de points fixes)
• le choix des illustrations est aussi un problème car en dimension 2, les affinités non triviales (sous-espaces non réduits à un point, rapport différent de 0 et 1) sont des dilatations. Le vocabulaire dans ce domaine semble être très fluctuant en particulier sur le terme de dilatation si j'en crois [2]

Hélas je n'ai pas assez de recul pour résoudre tous ces problèmes. Je peux mettre en avant l'aspect affine, expliquer le cas particulier de 0 (pas bijectif), de 1 (l'ensemble des invariants n'est pas la base de départ), des sous-espaces réduits à un point. Illustrer une affinité dans l'espace avec l'image d'une sphère devenant un ellipsoide de révolution, supprimer les interwiki. Mais ces modifications sont-elles souhaitables? HB (discuter) 27 novembre 2022 à 17:26 (CET)

@HB:

Désolé : je viens seulement de penser à regarder si vous aviez modifié aussi la page de discussion.

• Parler du vectoriel avant l'affine constitue une présentation progressive, et me paraît donc souhaitable sur Wikipédia, qui s'adresse à un public beaucoup + large et − «expert» que des livres entiers de mathématiques ne le font. Le nom «affinité» fait référence à la ressemblance entre une figure et son image par une telle fonction, pas au type d'espace sur lequel une telle fonction est définie (bien que ce type d'espace permette aussi ce type de ressemblance).
• Mais alors, je suis d'accord qu'il faudrait (au moins) une illustration complètement «vectorielle» et une illustration complètement «affine».
• Illustrer une affinité dans l'espace avec (par exemple) l'image d'une sphère devenant un ellipsoide de révolution me paraît être une bonne idée ; on pourrait utiliser une affinité de valeurs propres 1, λ, λ, pour montrer qu'avec n ≥ 3, une affinité n'est pas nécessairement une dilatation (de valeurs propres 1, 1, k) (et suggérer «subliminalement» que cette affinité donne un ellipsoide de révolution de même forme que celui donné par une dilatation de valeurs propres 1/λ, 1, 1).
• (@HB: Il me semble compliqué d'expliquer le cas particulier de λ = 1, car alors : ▪︎ on peut considérer que la base de départ F est ≠ E, et donc que l'ensemble des invariants n'est pas la base de départ ; ▪︎ ou bien, comme l'affinité a une seule valeur propre (1), on peut considérer que la base de départ F est = E, et donc que l'ensemble des invariants est la base de départ...)
• Supprimer (ou rediriger) les interwikis n'envoyant pas sur les bons articles ? Pourquoi pas, mais je ne vois absolument pas comment faire (techniquement)...!

2A01:CB00:8BE7:5800:DC4E:D491:7A6C:BE1F (discuter) 28 novembre 2022 à 00:41 (CET)

2A01:CB00:8BE7:5800:DC4E:D491:7A6C:BE1F (discuter) 29 novembre 2022 à 20:08 (CET)

Concernant le cas (pathologique) où $\lambda =1$, comme tu as pu le voir dans ma proposition de rédaction, j'ai fait le choix de m'appuyer sur la définition qui figure partout : F et G supplémentaires définis au préalable et $\lambda$ un réel quelconque, et j'ai tenté de mettre en évidence ce qui est alors perturbant (plusieurs décompositions possible en F et G donnent la même transformation). Mon avis (évidemment très subjectif) c'est que les cas que j'ai évoqués ( F ou G égal à E, $\lambda$ égal à 0 ou 1) sont des cas pathologiques qu'il faut traiter à la marge mais que les cas intéressants sont les autres cas. HB (discuter) 2 décembre 2022 à 16:15 (CET)

Commentaires de diff

A 2A01:CB00:8BE7:5800:...., Les commentaires de diffs sont principalement faits pour résumer en qq mots ce que l'on a fait. Pour discuter de l'article, la page de discussion est beaucoup plus pratique et perenne. lors du dernier commentaire, il me semble qu'il y a au moins deux points qui méritent discussion

• le premier concerne l'équation de l'image d'une courbe d'équation $y=f(x)$ par une transformation affine $\varphi$. Il est assez traditionnel de l'exprimer à l'aide de $\varphi ^{-1}$ comme $y_{\varphi ^{-1}(M)}=f(x_{\varphi ^{-1}(M)})$. Dans le cas de l'homothétie de rapport $1/k$, cela donne, de façon naturelle $ky=(kx)^{2}$. Je crois que je comprends l'idée sous-jacente de l'écriture $y={\frac {1}{k}}(kx)^{2}$ que tu préconises : c'est l'idée de se servir des remarques précédentes en considérant l'homothétie comme la composée de deux affinités. Cependant j'ai tendance à préférer la version de Robert FERREOL qui mobilise moins de non-dit.
• le second point concerne l'introduction de la balise <BR>. Je crois bien que ce type de code n'est pas bien vu dans le corps de texte (voir par exemple : Wikipédia:Le Bistro/12 mars 2009 ou Aide:Syntaxe). Il est parfois inévitable pour pallier les déficiences de certains modèles mais dans le cas qui nous concerne, il introduit des lignes vides qui sont contraires à la charte graphique de wikipedia : l'espace qui sépare une section d'une autre est normalisé et tes BR introduisent une irrégularité. J'hésite à m'exprimer à la place de quelqu'un d'autre mais je crois que ce point (parmi d'autres) a pu motiver le revert précédent de Kelam.

Comme je suis quasi sûre de moi sur ce problème de charte graphique, je vais enlever les BR. Concernant la forme que doit prendre l'équation de la courbe image, comme les deux sont justes, je ne compte pas intervenir mais si Robert FERREOL tient à remettre la présentation $ky=(kx)^{2}$, le faible consensus serait en sa faveur.HB (discuter) 2 décembre 2022 à 08:11 (CET)

@HB:

• J'ai pris l'habitude d'ajouter parfois un message pas trop compliqué à la fin de mes résumés de modif pour des raisons écologiques : ça évite un message séparé sur page de discussion, et pratiques : je peux pas créer de page de discussion, et sur mon ancien smartphone, j'avais difficilement accès aux pages de discussion déjà existantes. Mais avec mon nouveau smartphone, j'y ai accès + facilement.
• Oui, l'idée sous-jacente à l'équation $y={\frac {1}{k}}(kx)^{2}$ est de se servir des affirmations précédentes en considérant l'homothétie comme la composée de deux affinités. @Robert FERREOL: moi aussi, je préfère $ky=(kx)^{2}$ ; mais alors, il faudrait ajouter une explication comme $M\in \varphi (C)\iff \varphi ^{-1}(M)\in C$, ou plutôt $M\in \varphi (C)\iff y_{\varphi ^{-1}(M)}=f(x_{\varphi ^{-1}(M)})$ au début de cette liste d'affirmations ; non ?
• Il reste un ≤BR≥ entre « Une affinité ponctuelle est nécessairement une application affine dont la partie linéaire est une affinité vectorielle » et « Réciproquement, une application affine [...] ». (Et « application affine » y est LIée deux fois de suite.)

2A01:CB00:8BE7:5800:2D74:BDCC:EFF9:894C (discuter) 2 décembre 2022 à 16:53 (CET)

oui pour ce dernier BR , je n'ai pas osé le supprimer pour respecter ton désir de faire un retour à la ligne dans un même paragraphe (c'est une exception évoquée dans aide:Syntaxe). Pour l'abus de lien, ne pas hésiter à supprimer. HB (discuter) 2 décembre 2022 à 17:19 (CET)

@HB: Variante d'une suggestion précédente : ta 1ère figure serait encore + pédagogique si « k » était remplacé par « 1,5 », non ?

2A01:CB00:8BE7:5800:2D74:BDCC:EFF9:894C (discuter) 2 décembre 2022 à 20:04 (CET)

Pas vraiment amha. Donner mon bidouillage pour le rapport pour dessiner une ellipse n'a pas grand intérêt. Autant parler en toute généralité. HB (discuter) 2 décembre 2022 à 22:02 (CET)

Ah, je pensais pas que tu avais dû bidouiller (mais je me demandais pourquoi tu avais pas utilisé λ = 2, comme dans tes autres figures d'affinités).

2A01:CB00:8BE7:5800:50E:CF6C:8DFD:A20C (discuter) 3 décembre 2022 à 04:27 (CET)

Concernant ta suggestion d'expliquer le principe de l'équation de l'image d'une courbe, je trouve que c'est un peu lourd ici pour quelques exemples illustratifs. J'aurais préféré renvoyer vers un article dédié (mais il ne semble pas encore exister). Peut-être en note de bas de page du style «L'image de la courbe C par une transformation $\varphi$ a pour équation $y_{\varphi ^{-1}(M)}=f(x_{\varphi ^{-1}(M)})$ car $M\in \varphi (C)\iff \varphi ^{-1}(M)\in C$»? HB (discuter) 2 décembre 2022 à 22:26 (CET)

Cette note de bas de page serait parfaite, amha (j'osais pas suggérer de mettre une explication si complète).

2A01:CB00:8BE7:5800:50E:CF6C:8DFD:A20C (discuter) 3 décembre 2022 à 04:27 (CET)