Critère de Nagumo

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Dans le cadre des équations différentielles, le critère de Nagumo est un critère suffisant d'unicité locale d'une solution à un problème de Cauchy. Joint au théorème d'existence locale de Cauchy-Peano-Arzelà, il assure donc la même conclusion que le théorème de Cauchy-Lipschitz, sous des hypothèses différentes.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction continue à valeurs dans un espace vectoriel normé E, définie sur un cylindre fermé S = [t0c, t0 + c] × B(u0, r) de ℝ × E.

Si f vérifie sur S la condition

alors deux solutions quelconques du problème de Cauchy

coïncident sur tout sous-intervalle de [t0c, t0 + c] où elles sont définies toutes deux.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soient u et v deux solutions du problème de Cauchy, définies par exemple sur un intervalle [t0, t1] avec t1 > t0, montrons[1] que u = v.

La fonction g définie sur cet intervalle par

est nulle en t0, mais aussi de dérivée (à droite) nulle en t0, puisque quand t → t0+,

Ces deux propriétés de g permettent de définir sur [t0, t1] une fonction h par

qui majore l'expression intégrale de g(t) d'après l'hypothèse du critère de Nagumo.

On obtient ainsi

autrement dit l'application t ↦ h(t)/(t – t0) est décroissante sur ]t0, t1]. Comme elle est à valeurs positives et de limite nulle en t0, elle est constamment nulle, donc g aussi.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit l'application définie par

et soit le problème de Cauchy

L'application n'est pas lipschitzienne par rapport à u au voisinage de l'origine, en effet, on sait que n'est pas lipschitzienne à l'origine.

Cependant, pour tout , on déduit du théorème des accroissements finis qu'il existe c entre et tel que

par conséquent, f satisfait le critère de Nagumo dans tout cylindre centré à l'origine puisque

pour tout et pour tout . On conclut donc que le problème de Cauchy possède une et une seule solution.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Ravi P. Agarwal et Donal O'Regan, An Introduction to Ordinary Differential Equations, Springer, (ISBN 978-0-38771275-8, lire en ligne), p. 70-71

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Le critère d'Osgood (en) dans (en) Gerald Teschl (en), Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, AMS, (ISBN 978-0-82188328-0, lire en ligne), p. 58, qui fournit une condition suffisante d'unicité, moins restrictive que celle de Cauchy-Lipschitz.