Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà

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Le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà est un théorème d'analyse qui garantit qu'un problème de Cauchy possède toujours au moins une solution locale, sous réserve que la fonction définissant l'équation différentielle soit continue.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient

Alors[1], il existe une solution

x:[t_0-c,t_0+c]\to\overline{B(x_0,r)}

au problème de Cauchy

x(t_0)=x_0\text{ et }x'=f(t,x).

On peut même, dans cet énoncé, remplacer simultanément les deux intervalles centrés en t0 par des demi-intervalles d'extrémité t0[2].

N. B. Contrairement à ce que permet de conclure le théorème de Cauchy-Lipschitz sous des hypothèses plus restrictives, il n'y a pas unicité ici[3].

Exemples[modifier | modifier le code]

Les exemples suivants sont donnés par Peano[4].

L'équation \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=3x^{2/3} où le second membre est continu en x=0 sans être lipschitzien, admet les solutions x=t^3 et x=0 qui s'annulent toutes les deux en t=0 ainsi que les fonctions qui sont nulles dans l'intervalle [0,a] et qui prennent la valeur (t-a)^3 pour t>a.

L'équation \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=\frac{4xt^3}{x^2+t^4}, toujours avec la condition x(0)=0, admet les cinq solutions (C étant une constante arbitraire positive) :

x(t)=t^2~
x(t)=-t^2~
x(t)=0~
x(t)=C-\sqrt{C^2+t^4}
x(t)=\sqrt{C^2+t^4}-C

Esquisse de démonstration[modifier | modifier le code]

On construit par la méthode d'Euler une suite de fonctions M-lipschitziennes affines par morceaux

x_n:[t_0-c,t_0+c]\to\overline{B(x_0,r)}

qui sont des « solutions approchées » de ce problème de Cauchy au sens où pour tout entier n > 0,

x_n(t_0)=x_0\quad\text{et}\quad\|x'_n(t)-f(t,x_n(t))\|\le1/n

(pour tout point t en lequel xn est dérivable).

Le théorème d'Ascoli permet d'en extraire une sous-suite uniformément convergente. On montre alors (en utilisant la continuité uniforme de f) que la limite x vérifie

\forall t\in[t_0-c,t_0+c],x(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,x(\tau))~\mathrm d\tau.

D'après le théorème fondamental de l'analyse, x est donc une « solution exacte » du problème de Cauchy.

Cas des espaces de Banach[modifier | modifier le code]

La généralisation « naïve » de l'énoncé aux espaces de dimension infinie est drastiquement fausse :

  • pour tout[5] espace de Banach E de dimension infinie, il existe un problème de Cauchy (associé à une fonction continue f de ℝ×E dans E) ne possédant pas de solution locale (par translations, les données initiales t0, x0 peuvent être choisies arbitrairement dans un tel contre-exemple) ;
  • si E possède un quotient séparable de dimension infinie, il existe même une fonction continue f de E dans E pour laquelle l'équation différentielle autonome associée x' = f(x) n'a aucune solution locale (quelle que soit la condition initiale)[6].

Cependant, le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà se généralise en remplaçant ℝn par un espace de Banach, à condition d'ajouter l'hypothèse (redondante en dimension finie) que l'application continue f est compacte. Pour le démontrer[7], on utilise encore le théorème d'Ascoli, mais aussi le théorème du point fixe de Schauder.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles [détail des éditions], p. 137
  2. (en) Gerald Teschl (en), Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, AMS,‎ 2012 (ISBN 978-0-82188328-0, lire en ligne), p. 56
  3. Le critère d'Osgood (en) (Teschl 2012, p. 58) fournit cependant une condition suffisante d'unicité, moins restrictive que celle de Cauchy-Lipschitz. Voir aussi Critère de Nagumo.
  4. G. Peano, « Démonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires », Math. Ann., vol. 37,‎ 1890, p. 182-228 (lire en ligne)
  5. (en) A. N. Godunov, « On Peano’s Theorem in Banach spaces », Funct. Anal. Appl., vol. 9,‎ 1975, p. 53-55
  6. (en) Petr Hájek (en) et Michal Johanis, « On Peano's theorem in Banach spaces », J. Differential Equations, vol. 249, no 12,‎ 2010, p. 3342-3351, arXiv:0911.4860
  7. (en) J. M. Ayerbe Toledano, T. Domínguez Benavides et G. López Acedo, Measures of Noncompactness in Metric Fixed Point Theory, Springer,‎ 1997 (ISBN 978-3-76435794-8, lire en ligne), p. 15

Articles connexes[modifier | modifier le code]