Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà

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Le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà est un théorème d'analyse qui garantit qu'un problème de Cauchy possède toujours au moins une solution locale, sous réserve que la fonction définissant l'équation différentielle soit continue.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient

Alors[1], il existe une solution

au problème de Cauchy

On peut même, dans cet énoncé, remplacer simultanément les deux intervalles centrés en t0 par des demi-intervalles d'extrémité t0[2].

N. B. Contrairement à ce que permet de conclure le théorème de Cauchy-Lipschitz sous des hypothèses plus restrictives, il n'y a pas unicité ici[3].

Exemples[modifier | modifier le code]

Les exemples suivants sont donnés par Peano[4].

L'équation où le second membre est continu en sans être lipschitzien, admet les solutions et qui s'annulent toutes les deux en ainsi que les fonctions qui sont nulles dans l'intervalle et qui prennent la valeur pour .

L'équation , toujours avec la condition , admet les cinq solutions ( étant une constante arbitraire positive) :

Esquisse de démonstration[modifier | modifier le code]

On construit par la méthode d'Euler une suite de fonctions M-lipschitziennes affines par morceaux

qui sont des « solutions approchées » de ce problème de Cauchy au sens où pour tout entier n > 0,

(pour tout point t en lequel xn est dérivable).

Le théorème d'Ascoli permet d'en extraire une sous-suite uniformément convergente. On montre alors (en utilisant la continuité uniforme de f) que la limite x vérifie

D'après le premier théorème fondamental de l'analyse, x est donc une « solution exacte » du problème de Cauchy.

Cas des espaces de Banach[modifier | modifier le code]

La généralisation « naïve » de l'énoncé aux espaces de dimension infinie est drastiquement fausse :

  • pour tout[5] espace de Banach E de dimension infinie, il existe un problème de Cauchy (associé à une fonction continue f de ℝ×E dans E) ne possédant pas de solution locale (par translations, les données initiales t0, x0 peuvent être choisies arbitrairement dans un tel contre-exemple) ;
  • si E possède un quotient séparable de dimension infinie, il existe même une fonction continue f de E dans E pour laquelle l'équation différentielle autonome associée x' = f(x) n'a aucune solution locale (quelle que soit la condition initiale)[6].

Cependant, le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà se généralise en remplaçant ℝn par un espace de Banach, à condition d'ajouter l'hypothèse (redondante en dimension finie) que l'application continue f est compacte. Pour le démontrer[7], on utilise encore le théorème d'Ascoli, mais aussi le théorème du point fixe de Schauder.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles [détail des éditions], p. 137
  2. (en) Gerald Teschl (en), Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, AMS, (ISBN 978-0-82188328-0, lire en ligne), p. 56
  3. Le critère d'Osgood (en) (Teschl 2012, p. 58) fournit cependant une condition suffisante d'unicité, moins restrictive que celle de Cauchy-Lipschitz. Voir aussi Critère de Nagumo.
  4. G. Peano, « Démonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires », Math. Ann., vol. 37,‎ , p. 182-228 (lire en ligne)
  5. (en) A. N. Godunov, « On Peano’s Theorem in Banach spaces », Funct. Anal. Appl., vol. 9,‎ , p. 53-55
  6. (en) Petr Hájek (en) et Michal Johanis, « On Peano's theorem in Banach spaces », J. Differential Equations, vol. 249, no 12,‎ , p. 3342-3351, arXiv:0911.4860
  7. (en) J. M. Ayerbe Toledano, T. Domínguez Benavides et G. López Acedo, Measures of Noncompactness in Metric Fixed Point Theory, Springer, (ISBN 978-3-76435794-8, lire en ligne), p. 15

Articles connexes[modifier | modifier le code]