Courbe d'Edwards

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En mathématiques, une courbe d'Edwards est une courbe elliptique découverte par le mathématicien Harold Edwards[1]. En 2010, les propriétés des courbes elliptiques sont utilisées dans un corps fini pour créer la cryptographie sur les courbes elliptiques[2]. Bernstein et Lange ont mentionné plusieurs avantages de cette courbe comparativement aux fonctions elliptiques de Weierstrass.

Definition[modifier | modifier le code]

Des courbes d'Edwards d'équation x2 + y2 = 1 + d ·x2·y2 sur les nombres réels pour d = -300 (rouge), d = -√8 (jaune) et d = 0.9 (bleu).

Une courbe d'Edwards sur un corps commutatif K de caractéristique différente de 2 est une courbe d'équation :

 x^2 + y^2 = 1 + d x^2 y^2 \,

pour un scalaire d \in K \setminus \{0,1\}.

On appelle également courbe d'Edwards une courbe d'équation :

 x^2 + y^2 = c^2(1 + dx^2 y^2) \,

 c, d \in K avec  cd (1 - c^4 d) \neq 0 \,.

Toutes les courbes d'Edwards sont birationnellement équivalentes (en) à une courbe elliptique de Weierstrass.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Harold M. Edwards, « A normal form for elliptic curves », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 44,‎ , p. 393-422 (lire en ligne)
  2. (en) Christiane Peters, « EdwardsCurves », S3CM,‎ (lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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