Corrélation partielle

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Formule[modifier | modifier le code]

Le coefficient de corrélation partielle, noté ici r_{AB.C}, permet de connaître la valeur de la corrélation entre deux variables A et B, si la variable C était demeurée constante pour la série d’observations considérées.


Dit autrement, le coefficient de corrélation partielle r_{AB.C} est le coefficient de corrélation totale entre les variables A et B quand on leur a retiré leur meilleure explication linéaire en termes de C. Il est donné par la formule :


 r_{AB.C} = \dfrac{ r_{AB} - r_{AC} \cdot r_{BC}}{\sqrt{1-r_{AC}^2} \cdot \sqrt{1-r_{BC}^2}}


Démonstration géométrique[modifier | modifier le code]

La démonstration la plus rapide de la formule consiste à s’appuyer sur l’interprétation géométrique de la corrélation (cosinus).

Les séries d’observations A, B et C, une fois centrées réduites, sont des vecteurs centrés OA, OB, OC de longueur unité :

PartialCorrelation.png

Leurs extrémités déterminent un triangle sphérique ABC, dont les côtés a, b et c sont les arcs de grands cercles BC, AC et AB. Les coefficients de corrélations entre ces vecteurs sont r_{BC}=\cos a, r_{AC}=\cos b et r_{AB}=\cos c. Alors la loi fondamentale des triangles sphériques donne, pour l'angle C, la relation suivante entre les cosinus :

\cos C = \dfrac{\cos c - \cos a \cdot \cos b}{\sin a \cdot \sin b} = \dfrac{\cos c - \cos a \cdot \cos b}
{\sqrt{1-\cos^2 a} \cdot \sqrt{1-\cos^2 b}}


De même que c est l'angle entre les points A et B, vus du centre de la sphère, C est l'angle sphérique entre les points A et B, vus du point C à la surface de la sphère, et r_{AB.C}=\cos C est la « corrélation partielle » entre A et B quand C est fixé.

Domaines d'application[modifier | modifier le code]

La notion de corrélation partielle est utilisée :

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) R. A. Fisher (1924). The distribution of the partial correlation coefficient. Metron 3 (3–4): 329–332.
  • (en) Formules mathématiques dans la section « Description » de l'IMSL PCORR routine