Conjecture de Szpiro
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En théorie des nombres, la conjecture de Szpiro met en relation le conducteur (en) et le discriminant d'une courbe elliptique. Sous une forme légèrement modifiée, elle est équivalente à la conjecture abc bien connue. Elle porte le nom de Lucien Szpiro qui l'a formulée dans les années 1980.
Enoncé original
[modifier | modifier le code]La conjecture stipule que: étant donné ε > 0, il existe une constante C ( ε ) telle que pour toute courbe elliptique E définie sur Q avec un discriminant minimal Δ et un conducteur f, nous avons
Conjecture de Szpiro modifiée
[modifier | modifier le code]La conjecture de Szpiro modifiée déclare que: étant donné ε > 0, il existe une constante C ( ε ) telle que pour toute courbe elliptique E définie sur Q avec pour invariants c4, c6 et pour conducteur f (en utilisant la notation de l'algorithme de Tate (en)), nous avons
Preuves revendiquées
[modifier | modifier le code]En août 2012, Shinichi Mochizuki revendique une preuve de la conjecture de Szpiro en développant une nouvelle théorie appelée théorie de Teichmüller inter-universelle (en) (IUTT)[1]. Cependant, les articles n'ont pas été acceptés par la communauté mathématique comme fournissant une preuve de la conjecture[2],[3],[4], avec Peter Scholze et Jakob Stix concluant en mars 2018 que l'écart était « si grave que ... de petites modifications ne sauvera pas la stratégie de preuve »[5],[6],[7].
Références
[modifier | modifier le code]- Ball, « Proof claimed for deep connection between primes », Nature, (DOI 10.1038/nature.2012.11378, lire en ligne, consulté le )
- (en) Timothy Revell, « Baffling ABC maths proof now has impenetrable 300-page 'summary' », New Scientist, (lire en ligne).
- Conrad, « Notes on the Oxford IUT workshop by Brian Conrad », (consulté le )
- Castelvecchi, « The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof », Nature, vol. 526, no 7572, , p. 178–181 (PMID 26450038, DOI 10.1038/526178a, Bibcode 2015Natur.526..178C)
- Scholze et Stix, « Why abc is still a conjecture » (consulté le ) (version mise à jour de leur rapport de mai.)
- (en) Erica Klarreich, « Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture », Quanta Magazine, (lire en ligne).
- « March 2018 Discussions on IUTeich » (consulté le ) Web-page by Mochizuki describing discussions and linking consequent publications and supplementary material
Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (en) S. Lang, Survey of Diophantine geometry, Berlin, Springer-Verlag, (ISBN 3-540-61223-8, zbMATH 0869.11051), p. 51.
- (en) L. Szpiro, « Seminaire sur les pinceaux des courbes de genre au moins deux », Astérisque, vol. 86, no 3, , p. 44–78 (zbMATH 0463.00009).
- (en) L. Szpiro, « Présentation de la théorie d'Arakelov », Contemp. Math., vol. 67, , p. 279–293 (DOI 10.1090/conm/067/902599, zbMATH 0634.14012).
