Coercivité

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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une fonction réelle est dite coercive si « elle tend vers l'infini à l'infini », éventuellement dans une partie spécifiée de l'ensemble de départ. Une définition analogue est utilisée pour les formes bilinéaires.

Définition[modifier | modifier le code]

Une fonction définie sur un espace normé à valeurs dans est dite coercive sur une partie non bornée de si

ou de manière plus précise

Il revient au même de dire que les intersections avec des ensembles de sous-niveau de la fonction sont bornées :

Si l'on ne spécifie pas la partie , il est sous-entendu que .


On peut aussi étendre la définition à un espace métrique, en remplaçant par est fixe dans .

Cas d'une forme bilinéaire[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Plus spécifiquement, une forme bilinéaire est dite coercive si elle vérifie :

Certains auteurs préfèrent utiliser l'appellation -elliptique pour cette dernière définition. Celle-ci intervient entre autres dans le théorème de Lax-Milgram et la théorie des opérateurs elliptiques, ainsi que dans la méthode des éléments finis.

Lien entre les définitions[modifier | modifier le code]

Dans le cas où est une forme bilinéaire, en posant on a équivalence entre la coercivité de et celle de . En effet, implique qu'il existe tel que . Ainsi (en utilisant la variable u),

et

.

On identifie dès lors : qui est strictement positif.

Voir aussi[modifier | modifier le code]