Classification des surfaces

En mathématiques, et plus précisément en topologie, la classification des surfaces (ou classification des 2-variétés) est un résultat sur les surfaces « closes » (c'est-à-dire compactes et sans bord). Il indique que toute surface close connexe est homéomorphe à l'un des espaces topologiques suivants :

• une 2-sphère ;
• une somme connexe de $g>0$ tores, c'est-à-dire une sphère avec $g$ anses (la surface est alors orientable, de genre $g$ et de caractéristique d'Euler $2-2g$) ;
• une somme connexe de $c>0$ plans projectifs réels, c'est-à-dire une sphère avec $c$ cross-caps (la surface est alors non orientable, de genre $c$ et de caractéristique d'Euler $2-c$).

• 
  2-sphère (orientable, genre 0).
• 
  Le double tore est la somme connexe de deux tores (orientable, genre 2).
• 
  Sphère à trois anses, également somme connexe de trois tores (orientable, genre 3).
• 
  La surface de Boy est une immersion du plan projectif réel dans $\mathbb {R} ^{3}$ (non orientable, genre 1).
• 
  La bouteille de Klein est la somme connexe de deux plans projectifs réels (non orientable, genre 2).

Bibliographie

• (en) Herbert Edelsbrunner et John Harer, Computational Topology: An Introduction, American Mathematical Soc., 2010 (ISBN 978-0-8218-4925-5, lire en ligne), chap. II.1 (« Two-dimensional Manifolds »), p. 32-38