Centre d'un groupe

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En théorie des groupes, on appelle centre d'un groupe G l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les autres.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit G un groupe, noté multiplicativement.

 Z_G = \left\{ z \in G\mid\forall g \in G, gz = zg \right\}.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Exemples[modifier | modifier le code]

Application[modifier | modifier le code]

On considère l'automorphisme intérieur :

\phi : G \rightarrow Aut(G), \, g \mapsto \phi_g \,

\phi_g \, est l'automorphisme défini par:

\phi _g : G \rightarrow G, h \mapsto g h g^{-1} \,

On a alors :

 \ker (\phi)=Z_G \,
 \mbox{Im} \, \phi= \mbox{Int}(G)

Le sous-groupe \mbox{Int} (G) est appelé groupe des automorphismes intérieurs de G.

On peut en déduire, d'après les théorèmes d'isomorphisme :

 G/Z(G) \cong \mbox{Int}(G).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Centre (algèbre)