Cardinal régulier

En théorie des ensembles, un cardinal infini est dit régulier s'il est égal à sa cofinalité. Intuitivement, un cardinal $\kappa$ est régulier si toute réunion indexée par un ensemble petit d'ensembles petits est petite, où un ensemble est dit petit s'il est de cardinalité strictement inférieure à $\kappa$. Une autre définition possible équivalente est que $\kappa$ est régulier si pour tout cardinal $\lambda <\kappa$, toute fonction $f:\lambda \rightarrow \kappa$ est bornée. Un cardinal qui n'est pas régulier est dit singulier.

Par exemple, pour $\kappa =\aleph _{0}$, petit signifie fini, or toute réunion indexée par un ensemble fini d'ensembles finis est finie, donc $\aleph _{0}$ est un cardinal régulier. Pour $\kappa =\aleph _{1}$, petit signifie dénombrable, or, sous l'axiome du choix dénombrable, toute réunion indexée par un ensemble dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable, donc $\aleph _{1}$ est régulier. On peut montrer, sous l'axiome du choix, qu'il en est de même pour tout cardinal successeur : si $\alpha$ est un ordinal, alors  $\aleph _{\alpha +1}$ est régulier. C'est une conséquence simple du fait que $\aleph _{\alpha }^{2}=\aleph _{\alpha }$. Un cardinal singulier est nécessairement un cardinal limite. Une question naturelle se pose : la réciproque est-elle vraie ? Un contre-exemple à cette réciproque, c'est-à-dire un cardinal limite et régulier, est appelé cardinal faiblement inaccessible.

Le premier cardinal singulier est $\aleph _{\omega }$. En effet, $\aleph _{\omega }=\bigcup _{n\in \omega }\aleph _{n}$, il peut donc s'écrire comme une réunion indexée par un ensemble dénombrable d'ensembles de cardinalité strictement inférieure.

En l'absence de l'axiome du choix

Sans l'axiome du choix, certains des résultats précédents ne sont plus valables.

Par exemple, Azriel Lévy a démontré que si $ZF$ est cohérent, alors il en est de même de $ZF$ + $\aleph _{1}$ est singulier. Moti Gitik (en) a généralisé ce résultat et démontre que si $ZFC$ + il existe une classe propre de cardinaux fortement compacts (en) est cohérent, alors il en est de même de $ZF$ + tout ensemble est réunion dénombrable d'ensembles de cardinalité strictement inférieure.