Cofinalité

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Considérons un ensemble A muni d'une relation binaire ≤. Un sous-ensemble B de A est dit cofinal si :

pour tout élément a de A, il existe un élément b de B tel que ab ;
a ∈ A, ∃ b ∈ B \ ab.

La cofinalité de l'ensemble A est le cardinal du plus petit sous-ensemble cofinal de A.

La cofinalité d'un ordinal limite est le plus petit ordinal tel qu'il existe une fonction non majorée. Cet ordinal est usuellement noté ou [1].

Intuitivement, est le plus petit nombre de pas à faire pour arriver au bout de .

Par exemple, on peut aller au bout de en pas, avec la fonction identité, mais on ne peut pas aller au bout de en un nombre fini de pas. On a donc .

Un cardinal qui est égal à sa cofinalité, comme ici, , est appelé cardinal régulier.

De même, on peut aller au bout de en pas mais on ne peut pas le faire en un nombre dénombrable de pas. On a donc  ; qui est donc aussi un cardinal régulier.

En revanche, on peut aller au bout de en pas, avec la fonction définie par , donc .

Un cardinal qui n'est pas régulier, c'est-à-dire, qui n'est pas égal à sa cofinalité, comme ici est appelé cardinal singulier.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Pour tout ordinal limite , on a les propriétés suivantes :

  • existe ;
  • est un cardinal ;
  • est régulier, autrement dit  ;
  • Si et alors est borné ;
  • si est un ordinal limite, alors  ; par exemple, .

Pour tout cardinal infini , on a les propriétés suivantes :

  • , c'est une conséquence du théorème de König ;
  • pour tout cardinal ,  ; pour et , on obtient , on a donc en particulier  ; ceci est également une conséquence du théorème de König.

La cofinalité des cardinaux permet de mettre en évidence certaines différences de comportements. Par exemple, vis-à-vis de l'exponentiation cardinale, William B. Easton (en) a essentiellement prouvé que, pour les cardinaux réguliers, les seuls contraintes prouvables dans sur la fonction sont et [2]. Pour les cardinaux singuliers, la situation est différente. Notamment, Jack Silver (en) a démontré que si est singulier et de cofinalité non dénombrable, et si pour tout , alors [3].

Généralisations[modifier | modifier le code]

On peut généraliser la notion de cofinalité à n'importe quel ensemble préordonné : si est un ensemble préordonné, la cofinalité de est le plus petit cardinal d'une partie cofinale dans , c'est-à-dire telle que pour tout il existe tel que .

Par exemple, si est l'ensemble des fonctions de dans lui-même muni du préordre défini par si et seulement si pour tout entier à partir d'un certain rang, alors la cofinalité de ce préordre, noté généralement et appelé le nombre dominant (anglais : dominating number), est un cardinal compris entre et , mais sa valeur exacte ne peut pas être déterminée dans l'axiomatique usuelle de la théorie des ensembles, ZFC.

La théorie PCF (en), introduite par Saharon Shelah, étudie les cofinalités possibles des ultraproduits de certains ensembles ordonnés. Cela lui a permis de démontrer de nouvelles inégalités sur l'exponentiation cardinale, comme par exemple, [4].

Références[modifier | modifier le code]

  1. MyiLibrary (Service en ligne), Set theory, Springer (ISBN 3540440852, OCLC 757105116, lire en ligne)
  2. (en) William Bigelow Easton, « Powers of regular cardinals », Annals Of Mathematical Logic, vol. 1, no 2,‎ , p. 139-178 (lire en ligne)
  3. (en) Jack Silver, « On the singular cardinals problem », Proceedings of the International Congress of Mathematicians, vol. 1,‎ (265-268)
  4. Shelah Saharon, Cardinal arithmetic, Clarendon Press, (ISBN 9780198537854, OCLC 909512480, lire en ligne)