Annuité constante

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L'annuité constante est un type de remboursement d'un emprunt par un montant constant, qui est fonction du taux d'intérêt et de la durée de l'emprunt. L'annuité est une fonction linéaire du montant emprunté.

Décomposition du calcul de l'annuité constante[modifier | modifier le code]

Annuité constante d'amortissement d'emprunt[modifier | modifier le code]

Le calcul d'une annuité constante versée par l'emprunteur chaque année ou chaque période s'exprime par la formule :

avec:

  • est la valeur de l'annuité
  • est la valeur du capital emprunté ou emprunt,
  • est le taux d'intérêt
  • n est le nombre de périodes
  • a est le taux d'annuité constante égal à

Démonstration de la formule du taux d'annuité constante[modifier | modifier le code]

Chaque année l'emprunteur doit verser une même somme appelée l'annuité constante égale à E x a si E est le montant de l'emprunt et a le taux d'annuité constante. Cette somme est composée d'une part des intérêts et d'autre part du remboursement du capital. Les intérêts vont en s'amenuisant chaque année puisqu'ils sont calculés sur ce qui reste à rembourser multiplié par i. La démonstration de la formule du taux d'annuité constante nécessite une démonstration par récurrence pour faire apparaître une suite géométrique dont la somme est égale au montant de l'emprunt. Les termes de la suite sont les remboursements annuels de l'emprunt qui eux vont en augmentant d'année en année d'un facteur (1+i). Donc en fait si on considère que Rn est le remboursement du capital à la n-ième année et que R1 soit E x (a-i) est le remboursement du capital la 1° année alors la somme R1 + R2 + ... + Rn est égale à E le montant de l'emprunt. Après il suffit d'appliquer la formule ci-dessous de la somme d'une suite géométrique de raison r égale à (1+i) et de premier terme égal à E x (a-i) pour résoudre l'équation et retrouver la formule du taux d'annuité constante :

Progression géométrique[modifier | modifier le code]

La progression géométrique est une suite de nombres (ou termes) dont la raison r est constante, n étant le nombre de termes de la suite. Chaque terme est égal au terme précédent multiplié par r.

La somme de cette suite se calcule par la formule multipliée par le premier terme de la suite. La démonstration de cette formule se trouve dans l'article de série géométrique.

La démonstration par récurrence de la formule des remboursements[modifier | modifier le code]

Si on considère que la formule est vraie au rang p, est-ce qu'elle l'est toujours au rang p+1 ?

Au rang p le remboursement est :

et la somme de tout ce qui a été remboursé est donc égale à :

Au rang p+1 les intérêts seront de :

et donc le remboursement du capital emprunté sera de E x a moins cette somme soit :

Donc on a bien quel que soit n entier positif :

Autre formule pour le remboursement du capital[modifier | modifier le code]

Il existe une autre formule concernant les remboursements successifs d'emprunt :

...

La démonstration est simple. En remplaçant a par la formule du taux d'annuité constante on obtient le même résultat pour le remboursement de la première année :

Les annuités de placement[modifier | modifier le code]

A l'inverse des annuités constantes d'amortissement d'emprunt il existe les annuités de placement pour les épargnants par exemple qui versent à intervalle régulier une même somme d'argent pour constituer à l'échéance un capital plus important avec les intérêts.

Là aussi on obtient une suite géométrique. Si A est le montant de l'annuité, la valeur acquise du dernier ou n-ième versement sera de A x (1+i). Celle de l'avant-dernier sera de A x (1+i)². Et ainsi de suite jusqu'au premier qui aura une valeur de A x (1+i) puissance n. Le capital à l'échéance sera donc la somme de tous ces termes et la formule des suites géométriques donne la réponse :

Rappel sur le calcul des intérêts[modifier | modifier le code]

Le calcul d'un intérêt simple pour les placements s'exprime par la formule

exemple:

Alors : 10 000 x 0,05 x 10= 5000€

Le calcul de la valeur acquise s'exprime par la formule

Co est la valeur du capital initial et Cn celle du capital acquis à échéance de la durée de n périodes.

Exemple de calcul de la valeur acquise avec les mêmes données que précédemment :

= 10 000 (1+0,05 x 10) = 15 000

Pour un intérêt composé l'intérêt vient se greffer au capital majoré des intérêts passés :

 (n fois)

ou encore :

Avec encore les mêmes données que l'exemple précédent on obtient :

= 10 000 x 1,05 puissance 10 = 16 289 environ