Algèbre graduée

En mathématiques, en algèbre linéaire, on appelle algèbre graduée une algèbre dotée d'une structure supplémentaire, appelée graduation.

Définition

Soit A une algèbre sur un corps (ou plus généralement sur un anneau) K. Une graduation sur A est la donnée d’une famille de sous-espaces vectoriels $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ de A vérifiant :

• $A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }A_{i}$ ;
• $\forall i,j\in \mathbb {N} ,A_{i}A_{j}\subset A_{i+j}$, c'est-à-dire que $\forall \left[i,j\in \mathbb {N} ,x\in A_{i},y\in A_{j}\right],\ \ x\times y\in A_{i+j}$.

L’algèbre A est alors dite graduée (parfois ℕ-graduée, comme cas particulier de la notion d'algèbre M-graduée pour un monoïde M).

Les éléments de A_i sont dits homogènes de degré i. Un idéal est dit homogène si, pour chaque élément a qu'il contient, il contient également les parties homogènes de a. Cela revient à dire que I est engendré par des éléments homogènes.

Tout anneau (non gradué) A peut être doté d'une graduation en posant A₀ = A et A_i = 0 pour tout i > 0. Cette structure est appelée graduation triviale de A.

Une application f entre des algèbres graduées A et B (sur le même corps) est un homomorphisme d'algèbres graduées si $f(A_{i})\subset B_{i}$ pour tout i.

Exemples

• L'anneau de polynômes en plusieurs indéterminées K[X₁, … , X_n], où les éléments homogènes de degré n sont les polynômes homogènes de degré n.
• L'algèbre tensorielle T(V) sur un espace vectoriel V, où les éléments homogènes de degré n sont les tenseurs de la forme $v_{1}\otimes v_{2}\otimes \dots \otimes v_{n}$.
• L'algèbre symétrique S(V) et l'algèbre extérieure Λ(V) sont des algèbres graduées, les éléments homogènes de degré n étant les images des éléments homogènes de T(V). Plus généralement, si un idéal I d'une algèbre graduée A est homogène, le quotient A/I est naturellement gradué par$(A/I)_{i}=A_{i}/(I\cap A_{i}).$

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