Algèbre graduée

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En mathématiques, en algèbre linéaire, on appelle algèbre graduée une algèbre dotée d'une structure supplémentaire, appelée graduation.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit A une algèbre sur un corps (ou plus généralement sur un anneau) K. Une graduation sur A est la donnée d’une famille de sous-espaces vectoriels de A vérifiant :

  • , c'est-à-dire que .

L’algèbre A est alors dite graduée (parfois ℕ-graduée, comme cas particulier de la notion d'algèbre M-graduée pour un monoïde M[1]).

Les éléments de Ai sont dits homogènes de degré i. Un idéal est dit homogène si, pour chaque élément a qu'il contient, il contient également les parties homogènes de a. Cela revient à dire que I est engendré par des éléments homogènes.

Tout anneau (non gradué) A peut être doté d'une graduation en posant A0 = A et Ai = 0 pour tout i > 0. Cette structure est appelée graduation triviale de A.

Une application f entre des algèbres graduées A et B (sur le même corps) est un homomorphisme d'algèbres graduées[1] si pour tout i.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • L'anneau de polynômes en plusieurs indéterminées K[X1, … , Xn], où les éléments homogènes de degré n sont les polynômes homogènes de degré n.
  • L'algèbre tensorielle T(V) sur un espace vectoriel V, où les éléments homogènes de degré n sont les tenseurs de la forme .
  • L'algèbre symétrique (en) S(V) et l'algèbre extérieure Λ(V) sont des algèbres graduées, les éléments homogènes de degré n étant les images des éléments homogènes de T(V). Plus généralement, si un idéal I d'une algèbre graduée A est homogène, le quotient A/I est naturellement gradué par

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b N. Bourbaki, Algèbre (lire en ligne), p. III.30.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Algèbre différentielle graduée (en)