Aire sous la courbe

Aire sous la courbe d'équation $y=f(x)$ : $A=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

• Au sens strict, l'expression aire sous la courbe désigne l'aire A du domaine délimité par une courbe (représentée dans un diagramme x-y) et trois droites (l'axe des abscisses x, et deux verticales d'abscisses a et b). Si la courbe a pour équation $y=f(x)$, l'aire est $A=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$. Cette aire n'est une véritable superficie (exprimable par exemple en m²) que si la fonction f n'a que des valeurs positives (ou nulles) sur l'intervalle [a,b] et si l'abscisse comme l'ordonnée sont des longueurs (avec le même choix d'unité, le mètre par exemple).
• Au sens large on parle d'aire sous la courbe pour l'intégrale $A=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$, même quand les conditions ci-dessus ne sont pas réunies. Il ne s'agit plus alors d'une aire véritable au sens de la géométrie.
  • En physique, on parle souvent d'aire sous la courbe pour l'intégrale $A=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$ alors que les coordonnées x et y représentent des grandeurs physiques de dimensions différentes. Si x et y représentent par exemple un déplacement et une force, l'aire est la représentation graphique d'une énergie (x et y s'exprimant en mètres et en newtons, A s'exprime en joules).
  • De façon similaire en pharmacocinétique, on parle d'aire sous la courbe pour un graphique représentant la concentration plasmatique d'un médicament en fonction du temps.
  • En psychologie, le paramètre Area under the curve (AUC) est utilisé dans le diagnostic psychologique (de).