Nombre hautement cototient
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En mathématiques — plus précisément en théorie des nombres — un nombre hautement coïndicateur (ou hautement co-indicateur) est un entier naturel n > 1 tel que pour tout entier k strictement compris entre 1 et n, l'équation x − φ(x) = k — où φ est l'indicatrice d'Euler — a moins de solution que x − φ(x) = n.
On exclut k = 1 dans la définition parce que l'équation x − φ(x) = 1 a une infinité de solutions (les nombres premiers).
Les trente et un premiers termes de la suite des entiers hautement coïndicateurs (suite A100827 de l'OEIS) sont 2, 4, 8, 23, 35, 47, 59, 63, 83, 89, 113, 119, 167, 209, 269, 299, 329, 389, 419, 509, 629, 659, 779, 839, 1049, 1169, 1259, 1469, 1649, 1679, 1889.
« Beaucoup » de nombres hautement coïndicateurs sont impairs (comme ceux de 23 à 1889) et même congrus à –1 modulo 10 (comme ceux de 209 à 1889).
De même que les nombres hautement composés, les nombres hautement coïndicateurs forment un ensemble infini, et à mesure qu'ils augmentent, les calculs sont de plus en plus longs, puisqu'ils mettent en jeu la décomposition en produit de facteurs premiers.
Exemples
On peut définir la « coïndicatrice » de n comme le nombre n – φ(n) d'entiers compris entre 1 et n (au sens large) et qui ont avec n au moins un facteur premier commun. Par exemple, il y a exactement deux nombres (6 et 8) dont la coïndicatrice vaut 4. Il y en a moins dont la coïndicatrice vaut 3 ou 2 (un nombre dans chaque cas), donc 4 est un nombre hautement coïndicateur.
| k (les k hautement coïndicateurs sont en gras) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
Nombre de solutions de x – φ(x) = k ( A063740) |
∞ | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 3 | 2 | 0 | 2 | 3 | 2 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 4 | 4 | 3 |
Hautement coïndicateurs premiers
Les quatorze premiers termes de la suite des nombres à la fois hautement coïndicateurs et premiers (suite A105440 de l'OEIS) sont
2, 23, 47, 59, 83, 89, 113, 167, 269, 389, 419, 509, 659, 839.
