Identités de Cassini, de Catalan et de Vajda

Les identités de Cassini, de Catalan et de Vajda sont trois identités mathématiques concernant les nombres de Fibonacci. L'identité de Cassini est un cas particulier de celle de Catalan, qui est elle-même un cas particulier de l'identité de Vajda (en). Cette dernière est à son tour un cas particulier des identités remarquables vérifiées par les suites récurrentes linéaires d'ordre 2.

Identité de Cassini

L'identité de Cassini est :

\forall n\in \mathbb {Z} \quad F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}

.

L'identité de Catalan est :

\forall n,r\in \mathbb {Z} \quad F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}

.

L'identité de Cassini est ainsi le cas particulier de celle de Catalan dans le cas $r=1$ .

L'identité de Vajda est :

\forall i,j,k\in \mathbb {Z} \quad F_{k+i}F_{k+j}-F_{k}F_{k+i+j}=(-1)^{k}F_{i}F_{j}

.

En prenant $i=j=r$ et $k=n-r$ , on retrouve l'identité de Catalan.

(en) Donald Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 1 : Fundamental Algorithms, Reading (Mass.), Addison-Wesley, 1997, 3^e éd., 134 p. (ISBN 978-0-201-85392-6, lire en ligne), p. 79-85, § 1.2.8 (« Fibonacci numbers »)
(en) R. Simson et H. Philip, « An Explication of an Obscure Passage in Albert Girard's Commentary upon Simon Stevin's Works », Philos. Trans. R. Soc., vol. 48,‎ 1753, p. 368-377 (DOI 10.1098/rstl.1753.0056)
(en) M. Werman et D. Zeilberger, « A bijective proof of Cassini's Fibonacci identity », Discrete Math., vol. 58, n^o 1,‎ 1986, p. 109 (DOI 10.1016/0012-365X(86)90194-9, MR 0820846)