En théorie des probabilités et en statistique, la loi marginale d'un vecteur aléatoire, c'est-à-dire d'une variable aléatoire à plusieurs dimensions, est la loi de probabilité d'une de ses composantes. Autrement dit, la loi marginale est une variable aléatoire obtenue par « projection » d'un vecteur contenant cette variable.
Par exemple, pour un vecteur aléatoire
, la loi de la variable aléatoire
est la deuxième loi marginale du vecteur.
Définition
Pour obtenir la loi marginale d'un vecteur, on projette la loi sur l'espace unidimensionnel de la coordonnée recherchée. La loi de probabilité de la i-ème coordonnée d'un vecteur aléatoire est appelée la i-ème loi marginale. La loi marginale
de
s'obtient par la formule :
pour tout
.
Soient
et
deux variables aléatoires de l'espace probabilisé
vers l'espace mesurable
et
.
Les lois de probabilité marginales du vecteur aléatoire
sont les lois de probabilité de
et de
. On traite ici celle de
(la méthode est la même pour celle de
). D'après le théorème des probabilités totales, elle est liée à la loi de probabilité conditionnelle :
![{\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\int _{\Omega }\mathbb {P} (X^{-1}\langle B\rangle \cap \mathrm {d} \omega _{Y})=\int _{F}\mathbb {P} _{(X,Y)}(B,\mathrm {d} y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2269649e7767b2104a146cff88a32b0ad10345f)
Exemples
Loi discrète
Si
est une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble dénombrable
, alors :
![{\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\sum _{y\in S}\mathbb {P} _{(X,Y)}(B,\{y\}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2f06dc66c332d97f2a5dbf8916b64a71ad7026)
C'est notamment le cas quand
est fini. En notant
ses valeurs et
les probabilités
, la loi de probabilité devient :
![{\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} _{X,i}(B).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b2dcaa90435d60c313d8631e1d992a9a5f7f91)
Loi absolument continue
Les lois marginales d'une loi absolument continue s'expriment à l'aide de leurs densités marginales par les formules :
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&=\int _{\mathbb {R} }\ f_{Z}(x,y)\,\mathrm {d} y,\\f_{Y}(y)&=\int _{\mathbb {R} }\ f_{Z}(x,y)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1a1be02e0cc6f0dd55918b98c30db06ea0bc6d)
où
est la densité de probabilité du vecteur
.
De manière plus générale, si
et
sont des variables aléatoires absolument continues, de densité de probabilité conjointe
par rapport à une mesure
-finie
sur
, alors :
![{\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\int _{F}\left(\int _{B}f_{(X,Y)}(x,y)\mu (\mathrm {d} x)\right)\mu (\mathrm {d} y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c512a6a597504962eeaf0cae81479a4f3baf34)
Notes et références
Voir aussi
Bibliographie
: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.
Articles connexes