Loi de probabilité marginale

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Probabilité (homonymie).

En théorie des probabilités et en statistique, la loi marginale d'un vecteur aléatoire, c'est-à-dire d'une variable aléatoire à plusieurs dimensions, est la loi de probabilité d'une de ses composantes. Autrement dit, la loi marginale est une variable aléatoire obtenue par « projection » d'un vecteur contenant cette variable.

Par exemple, pour un vecteur aléatoire , la loi de la variable aléatoire est la deuxième loi marginale du vecteur.

Définition[modifier | modifier le code]

Pour obtenir la loi marginale d'un vecteur, on projette la loi sur l'espace unidimensionnel de la coordonnée recherchée. La loi de probabilité de la i-ème coordonnée d'un vecteur aléatoire est appelée la i-ème loi marginale. La loi marginale de s'obtient par la formule :

pour tout .

Soient et deux variables aléatoires de l'espace probabilisé vers l'espace mesurable et .

Les lois de probabilité marginales du vecteur aléatoire sont les lois de probabilité de et de . On traite ici celle de (la méthode est la même pour celle de ). D'après le théorème des probabilités totales, elle est liée à la loi de probabilité conditionnelle :

Exemples[modifier | modifier le code]

Loi discrète[modifier | modifier le code]

Si est une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble dénombrable , alors :

C'est notamment le cas quand est fini. En notant ses valeurs et les probabilités , la loi de probabilité devient :

Loi absolument continue[modifier | modifier le code]

Les lois marginales d'une loi absolument continue s'expriment à l'aide de leurs densités marginales par les formules :

est la densité de probabilité du vecteur .

De manière plus générale, si et sont des variables aléatoires absolument continues, de densité de probabilité conjointe par rapport à une mesure -finie sur , alors :

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Document utilisé pour la rédaction de l’article : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

Articles connexes[modifier | modifier le code]