Système d'équations
Cet article est une ébauche concernant l’algèbre.
Un système d'équations est un ensemble d'équations, utilisant les mêmes variables ou inconnues ; une solution est l'affectation d'une valeur à chacune de ces variables, de telle façon que toutes les équations du système soient satisfaites simultanément (s'il y a n inconnues, une solution est donc un n-uplet de valeurs particulières des inconnues).
Dans la vie courante et en sciences, les phénomènes dépendent le plus souvent de plusieurs paramètres. Pour modéliser ces phénomènes, les relations entre ces paramètres sont traduites en équations, conduisant à un système d’équations à plusieurs inconnues, dont la résolution est recherchée au moyen de méthodes mathématiques (le développement de ces méthodes est un des objets de la recherche mathématique).
Exemples
[modifier | modifier le code]- Un exemple élémentaire de système d'équations linéaires est :
Ce système a une unique solution . - On peut également former de systèmes d'équations non linéaires :Celui-ci admet deux solutions et .
- Exemple de système non linéaire de 2 équations à 2 inconnues sans solution réelle :La combinaison de ces deux équations permet d’obtenir l’équation du second degré :, dont le discriminant est égal à .
- Le système n’a donc aucune solution réelle, mais deux solutions dans l’ensemble des nombres complexes, qui correspondent aux deux couples possibles formés des 2 solutions complexes conjuguées ( et ) de l’équation du second degré ci-dessus. Ce nombre de solutions résulte d’une particularité du système d’équations, qui reste inchangé par permutation des inconnues.
- Une autre catégorie de systèmes, très utilisés en physique, sont les systèmes d'équations différentielles. L'exemple suivant est un système dynamique différentiel linéaire du premier ordre, appelé système dynamique de Lorenz :
Représentation graphique
[modifier | modifier le code]Chaque équation linéaire qui compose un système doit être vue comme une droite dont elle est l'équation cartésienne[1].
Ainsi, un système peut être représenté par deux droites qui peuvent être :
- sécantes : dans ce cas, le système admet un unique couple de solutions qui correspondent aux coordonnées du point d'intersection de ces droites.
S = {x;y}
- strictement parallèles : dans ce cas, le système n'admet aucune solution. On parle d'ensemble vide.
S = ∅
- parallèles confondues : dans ce cas, le système admet une infinité de solution qui sont les points appartenant à ces droites.
S = {ax + by + c = 0}
Résolution de systèmes par le calcul
[modifier | modifier le code]La résolution de systèmes par le calcul est enseignée en seconde[1]. Elle se fait par deux méthode : la substitution ou la combinaison linéaire.
La substitution consiste à remplacer une inconnue par son expression selon l'autre inconnue.
Ex :
La combinaison linéaires consiste à ajouter k fois une ligne à une autre.
Ex :
Notes et références
[modifier | modifier le code]Liens externes
[modifier | modifier le code]- Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :
