Système d'équations

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Un système d'équations est un ensemble d'équations, utilisant les mêmes variables ou inconnues ; une solution est l'affectation d'une valeur à chacune de ces variables, de telle façon que toutes les équations du système soient satisfaites simultanément (s'il y a n inconnues, une solution est donc un n-uplet de valeurs particulières des inconnues).

Dans la vie courante et en sciences, les phénomènes dépendent le plus souvent de plusieurs paramètres. Pour modéliser ces phénomènes, les relations entre ces paramètres sont traduites en équations, conduisant à un système d’équations à plusieurs inconnues, dont la résolution est recherchée au moyen de méthodes mathématiques (le développement de ces méthodes est un des objets de la recherche mathématique).

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Un exemple élémentaire de système d'équations linéaires est :
    Ce système a une unique solution .
  • On peut également former de systèmes d'équations non linéaires :
    Celui-ci admet deux solutions et .
  • Exemple de système non linéaire de 2 équations à 2 inconnues sans solution réelle :
    La combinaison de ces deux équations permet d’obtenir l’équation du second degré :, dont le discriminant est égal à .D’où vient les (-4) ? Tout simplement par cette formule du discriminant : Δ = b² - 4ac. si on regarde notre équation du second degré a=2 b=-2 et c=1.
  • ce qui donne Δ = (-2)² - 4(2)(1)=4-8=-4, alors Δ(discriminant) =-4[1].
  • Le système n’a donc aucune solution réelle, mais deux solutions dans l’ensemble des nombres complexes, qui correspondent aux deux couples possibles formés des 2 solutions complexes conjuguées (Z1 = a+ib et Z2 = a-ib) de l’équation du second degré ci-dessus. Ce nombre de solutions résulte d’une particularité du système d’équations, qui reste inchangé par permutation des inconnues.
  • Une autre catégorie de systèmes, très utilisés en physique, sont les systèmes d'équations différentielles. L'exemple suivant est un système dynamique différentiel linéaire du premier ordre, appelé système dynamique de Lorenz :

Méthode par multiplication[modifier | modifier le code]

Soit un système d’équation défini par x et y tel que :  équation d’origine

Résolution[modifier | modifier le code]

·        Il faut avant tout bien regarder les 2 lignes, c’est-à-dire dire qui de x ou de y est facile à être éliminé en premier.

·        Deuxièmement, faire des combinaisons entre la première et la deuxième ligne. Il se peut qu’ils nous arrivent à impliquer des signes lors de la combinaison. Pour ce qui est de notre exemple, pas la peine d’utiliser la combinaison des signes, car on peut voir qu’en y (ligne 1 et 2) il possède déjà un signe positif et négatif.

·       Pour éliminer les y, on multiplie la ligne (1) par (3). On obtient : :

·        On remarque qu'en première ligne, on a 3y et en deuxième ligne -3y, d’où on peut additionner la première ligne à celle de la deuxième ligne. On obtient : (9x + 3y) +(2x – 3y) =-15+1. On a 9x + 3y + 2x – 3y = -14. Les (y) s’éliminent, il va nous rester que les (x).

·        On aura : 9x +2x = -14, ce qui va donner un x=-14/11.

·        Une fois (x) trouver, on peut la remplacer à la ligne (1) ou (2) de notre équation d’origine, afin de trouver (y).

·        Si on remplace (x) dans la ligne (2) de notre équation d’origine, on aura :  2(-14/11) -3y=1 ce qui va donner -28/11 – 3y=1. Les (-28/11) passent de l’autre coté de l’égalité et on obtient :    -3y, or       d’où on aura : -3y=  ce qui donne y= -39/33 on peut simplifier en divisant par (3), on obtient y=-13/11

·        On obtient au final un X= -14/11 et un Y=-13/11


NB : si la deuxième ligne était 2x+3y=1, là on aurait multiplié la ligne (1) par (-3) pour éliminer les (y) et ensuite procéder par la même méthode de ce qui précède. On pouvait aussi passer par l’élimination de (x) en multipliant la ligne (1) par (+1) et la ligne (2) par (-3) et ensuite additionner les deux lignes pour trouver (y) et ensuite le remplacer soit à la ligne (1) ou (2) de l’équation d’origine pour trouver cette fois-là (x)[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Laurent Camus, « Equations : Second degré - Calcul du discriminant Delta », sur www.mathematiquesfaciles.com (consulté le 18 décembre 2019)
  2. « Comment résoudre un système d’équations », sur wikiHow (consulté le 17 décembre 2019)