Équation d'Hugoniot

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L'équation d'Hugoniot utilisée en mécanique des fluides décrit le comportement d'un écoulement isentropique stationnaire dans un volume fermé de section lentement variable. Cette dénomination en l'honneur de Pierre-Henri Hugoniot n'est pas universellement utilisée[1],[2].

Écoulement quasi-unidimensionnel[modifier | modifier le code]

Dans une conduite ou une tuyère la variation lente de l'aire de la section droite permet d'assimiler l'écoulement à un écoulement en une dimension moyennant l'hypothèse :

Soit l'aire et la quantité caractéristique à laquelle on s'intéresse. On écrit cette quantité sous forme d'une partie principal moyenne et d'un écart local à cette valeur :

étant supposé en on peut écrire :

et

Ces relations vont nous permettre de moyenner les termes de l'équation d'Euler, non linéaire.

Équations d'Euler instationnaires[modifier | modifier le code]

Dans le domaine contenant le fluide, limité par la surface , de normale sortante on peut écrire les bilans de conservation pour les équations d'Euler sous la forme suivante[3] :

  • on suppose nulle la masse entrante sur les parois :
À l'ordre 0 en et en utilisant l'expression donnant la moyenne d'un produit :
Soit en dérivant :
  • en effectuant les mêmes opérations sur la quantité de mouvement et en utilisant l'équation de continuité on obtient :
  • de même pour l'équation de l'énergie en utilisant les équations de continuité et de quantité de mouvement :

Équations stationnaires[modifier | modifier le code]

Elles découlement trivialement des précédentes :

  • bilan de masse :
  • bilan de quantité de mouvement :
  • bilan d'énergie :

Équation d'Hugoniot[modifier | modifier le code]

La vitesse du son à l'ordre 0 en dans le milieu est donnée par:

(et non ) est l'entropie. L'utilisation de cette relation suppose donc une restriction de ce qui suit à un écoulement isentropique, sans onde de choc. Dans notre cas :

L'équation stationnaire de quantité de mouvement s'écrit alors :

est le nombre de Mach à l'ordre 0.

L'équation de continuité stationnaire peut s'écrire sous la forme :

En l'introduisant dans l'équation précédente on obtient l'équation d'Hugoniot :

Cette équation montre que :

  • en subsonique une diminution de l'aire entraîne une augmentation de la vitesse,
  • en supersonique c'est le contraire.

Cette observation est à la base de la tuyère de Laval.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Lev Landau et Evgueni Lifchits, Fluid Mechanics, Pergamon Press, (ISBN 0-08-033933-6, lire en ligne)
  2. (en) George K. Batchelor, An Introduction to Fluid Mechanics, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-66396-2)
  3. Olivier Thual, Aérodynamique compressible et fluides hétérogènes, Cours ENSEEIHT, 2004 [1]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Article connexes[modifier | modifier le code]