Équation de Rankine-Hugoniot

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L'équation de Rankine-Hugoniot est une équation de la mécanique des fluides, une branche de la physique qui s'intéresse à l’étude du comportement des fluides (liquides et gaz) et des forces internes associées. Elle a été ainsi dénommée en l'honneur de Pierre-Henri Hugoniot et de William Rankine.

Origine et énoncé de l'équation[modifier | modifier le code]

L’expérience d’Hugoniot permet de mettre en relation la variation de section avec la variation de vitesse en fonction du domaine de l’écoulement. Elle consiste à observer l'écoulement d'un fluide compressible de part et d'autre d'un choc mécanique. La formule de Rankine-Hugoniot peut se retrouver à partir de l'expression de la conservation de la quantité de mouvement :

v\,\mathrm dv+\frac{\mathrm dP}{\rho}=0

v est la vitesse, \mathrm dv la variation de vitesse, \mathrm dP la variation de pression et \rho la masse volumique du gaz considéré. \mathrm dP peut être remplacé par c^{2}\mathrm d\rho puisque la célérité \scriptstyle c=\sqrt{\frac{\mathrm dP}{\mathrm d\rho}}.

Nous obtenons alors :

\frac{\mathrm d\rho}{\rho}=-\frac{v\,\mathrm dv}{c^{2}}=-\frac{v^{2}\,\mathrm dv}{c^{2}\,v}=-M^{2}\,\frac{\mathrm dv}{v}

En utilisant la loi de Pascal sous sa forme dérivée, \scriptstyle\frac{\mathrm d\rho}{\rho} peut être remplacé par \scriptstyle -\left(\frac{\mathrm dv}{v}+\frac{\mathrm ds}{s}\right)s est la section de l'écoulement et \mathrm ds la variation de section.

Ceci nous donne la formule de Rankine-Hugoniot :

\frac{\mathrm ds}{s}=(M^{2}-1)\,\frac{\mathrm dv}{v}

Références[modifier | modifier le code]