Équation aux dérivées partielles parabolique

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En mathématiques, une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre, dont la forme générale est donnée par:

est dite parabolique en un point donné x de l'ouvert U si la matrice carrée symétrique des coefficients du second ordre, admetn-1 valeurs propres non nulles et de même signe, et une valeur propre nulle, le vecteur propre associé à cette dernière, noté , étant tel que , désignant le vecteur des n coefficients du premier ordre[1],[2].

Exemple[modifier | modifier le code]

Un exemple classique d'équation différentielle parabolique est l'équation de la chaleur:

,

D est la diffusivité thermique et la chaleur spécifique à pression constante, S désignant un terme source de production de chaleur, la température au point r de l'espace et à l'instant t.

En effet, dans ce cas la matrice A est donnée par et admet donc une valeur propre nulle, et trois autres égales à -D et donc de même signe. Par ailleurs le vecteur propre associé à la valeur propre nulle, soit est clairement non orthogonal au vecteur .

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. H. Reinhard 2004
  2. Si cette dernière condition n'est pas vérifiée l'équation sera dégénérée

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • H. Reinhard, Équations aux dérivées partielles, introduction, Paris, Dunod Université, coll. « Sciences Sup » (réimpr. 2004) (1re éd. 1991), 291 p., broché (ISBN 978-2100484225).

Voir aussi[modifier | modifier le code]